Расстояние до пустого множества

[Anton_Peplov]

Как известно, расстоянием от точки $b$ до множества $A$ называется число

$$ \rho (b, A) = \inf_{a \in A} \rho (b, a) $$

Попытаемся выяснить, каково расстояние от точки $b$ до пустого множества. Известна мантра "элементы пустого множества удовлетворяют любому условию". Ну и как ее в данном случае понимать? Вот условие: $ \rho (b, a) = 1$. Удовлетворяют ли ему все $a \in \varnothing$? Если да, то $\rho (b, A) = \{ \inf 1 \} = 1$. С другой стороны, тогда точно по тем же соображениям $\rho (b, A) = 100^{500}$. Получается, что расстояниями от точки $b$ до пустого множества являются все числа одновременно. Тогда, если $A$ пусто, расстояние Хаусдорфа между множествами $A, B$

$$ d(A, B) = \max \{ \sup_{a \in A} \rho(a, B), \sup_{b \in B} \rho(b, A)\} $$

не существует, т.к. не существует $\sup \mathbb R$. Все правильно?

Англоязычные источники говорят, что расстояние Хаусдорфа определяется только для непустых множеств: англовики, stackexchange. Однако Виро и К в своей книжке "Элементарная топология" об этом упомянуть забывают (с. 31), причем неоднократно - сначала в определениях, потом в теоремах ("расстояние Хаусдофа есть метрика на множестве всех замкнутых ограниченных подмножеств метрического пространства"). Это они нечаянно забыли или, может быть, есть какой-то другой взгляд на расстояние до пустого множества?

[Red_Herring]

Вообще-то это дискуссия ни о чём. Но по определению, $\inf \emptyset=+\infty$ так что расстояние до пустого множества равно $+\infty$. Что имеет смысл: если Вас послали "на пустое множество", то сколько Вы идти не будете, всё равно не дойдёте.

А не пойти ли Вам на пустое множество?--хорошо, и главное, научно звучит

[Anton_Peplov]

Red_Herring в сообщении #1189508 писал(а):

Вообще-то это дискуссия ни о чём.

Это не дискуссия, а вопрос. И задан он человеком, который не имеет математического образования и получает его самостоятельно. В данном случае я как будто наблюдаю небрежность авторов учебника: забыли дописать слово "непустых". Но уже несколько раз случалось, что то, что я принимал за небрежность авторов , оказывалось недопониманием с моей стороны. И я хочу убедиться, что это не тот случай.

[--mS--]

Anton_Peplov в сообщении #1189507 писал(а):

Как известно, расстоянием от точки $b$ до множества $A$ называется число

$$ \rho (b, A) = \inf_{a \in A} \rho (b, a) $$

Здесь написано: $\rho (b, A)$ есть точная нижняя грань множества, состоящего из значений $\rho (b, a)$, где $a$ пробегает $A$. Поскольку $A=\varnothing$, то и множество, точная нижняя грань которого нас интересует, пусто.

[mihaild]

С этим определением получается проблема - расстояние от пустого множества до себя равно минус бесконечности. Что от этого сломается - надо смотреть, но вообще с функцией, которая принимает значения плюс-минус бесконечность, работать неприятно. Какие теоремы останутся верны для такого "расстояния" - опять же, надо смотреть.

Например, 4.Bx в "Элементарной топологии" уже ломается.

[Dan B-Yallay]

Anton_Peplov в сообщении #1189507 писал(а):

Как известно, расстоянием от точки $b$ до множества $A$ называется число

$$ \rho (b, A) = \inf_{a \in A} \rho (b, a) $$

Попытаемся выяснить, каково расстояние от точки $b$ до пустого множества. Известна мантра "элементы пустого множества удовлетворяют любому условию". Ну и как ее в данном случае понимать?

Лично я понимаю правую часть равенства как нижнюю грань расстояний от элемента $b$ до элементов из множества $A$, которые в случае пустого множества нужно еще предьявить.

[mihaild]

Dan B-Yallay в сообщении #1189523 писал(а):

нужно еще предьявить

Не нужно.
$\inf$ определен на множествах, по определению $x = \inf A \leftrightarrow ((\forall y \in A: x \leqslant y) \wedge (\forall y > x \exists z \in A: z < y))$ (тут надо доказать, что $\inf$ в $\overline{\mathbb{R}}$ существует и единственен для любого множества), откуда $\inf \varnothing = \infty$.

[Dan B-Yallay]

Я в своих рассуждениях до инфимума не успеваю дойти и застреваю на расстоянии до несуществующего элемента. Как оно определено?

[Anton_Peplov]

--mS-- в сообщении #1189518 писал(а):

множество, точная нижняя грань которого нас интересует, пусто.

Ну ок. А чему равен $\inf \varnothing$? Смотрим определение точной нижней грани. $m = \inf A$, если выполняются два условия:
1. $\forall a \in A \ a \geqslant m$
2. $\forall M > m \ \exists a \in A: a < M$.
Опять-таки используем мантру "элемент пустого множества обладает любыми свойствами". В частности, для любых $m, M \in \mathbb R$ верно $a \geqslant m$ и $a < M$. Получается, что точной нижней гранью пустого множества является любое число.

[mihaild]

Dan B-Yallay в сообщении #1189528 писал(а):

Как оно определено?

Оно идет после инфимума, а не до. Мы сначала берем множество расстояний до всех элементов пустого множества (оно конечно получается пустым), а потом берем по нему инфимум.
$\inf\limits_{x \in A} f(x)$ - это просто удобный способ записи для $\inf\{f(x) | x \in A\}$.

Anton_Peplov в сообщении #1189530 писал(а):

Опять-таки используем мантру "элемент пустого множества обладает любыми свойствами"

Это значит, что $\forall a \in A: P(a)$ верно. Но у вас во втором утверждении квантор существования по $A$, а не всеобщности. Подставьте в него $m = 0$, например; потом подставим $M = 1 > m$. Получим $\exists a \in A: a < 1$, а это неправда. Так что для $m = 0$ второе условие не выполнено. И для любого другого $m$, для которого есть хотя бы одно $M$, его большее, тоже.

[Anton_Peplov]

mihaild в сообщении #1189534 писал(а):

Это значит, что $\forall a \in A: P(a)$ верно. Но у вас во втором утверждении квантор существования по $A$, а не всеобщности.

Так. Правильно ли я понимаю, что если $A$ пусто, то для любого предиката $P()$ утверждение $\forall a \in A: P(a)$ истинно, утверждение $\exists a \in A: P(a)$ ложно?

[mihaild]

Anton_Peplov в сообщении #1189538 писал(а):

Так. Правильно ли я понимаю, что если $A$ пусто, то для любого предиката $P()$ утверждение $\forall a \in A: P(a)$ истинно, утверждение $\exists a \in A: P(a)$ ложно?

Да (и в классичейской логике эти утверждения получаются друг из друга пронесением отрицания через квантор).

[Dan B-Yallay]

mihaild в сообщении #1189534 писал(а):

Оно идет после инфимума, а не до.

Вы правы:
http://math.stackexchange.com/questions ... -empty-set

[ewert]

mihaild в сообщении #1189525 писал(а):

тут надо доказать, что $\inf$ в $\overline{\mathbb{R}}$ существует и единственен для любого множества

Вот как раз именно в обсуждаемом вопросе не надо (рано ещё): плюс бесконечность по определению больше любого другого элемента расширенной оси и, следовательно, является наибольшей изо всех нижних границ.

[mihaild]

ewert в сообщении #1189546 писал(а):

Вот как раз именно в обсуждаемом вопросе не надо (рано ещё)

Надо, чтобы оправдать использование $=$. А то вдруг получится, что $x = \inf, y = \inf, x \neq y$.