Расстояние до пустого множества

[Dan B-Yallay]

mihaild в сообщении #1189534 писал(а):

Мы сначала берем множество расстояний до всех элементов пустого множества (оно конечно получается пустым)

А вот тут я опять спотыкаюсь на выделенном и нуждаюсь в помощи. Что такое "множество незвестно_чего"
И почему оно пустое?

[ewert]

mihaild в сообщении #1189548 писал(а):

Надо, чтобы оправдать использование $=$. А то вдруг получится, что $x = \inf, y = \inf, x \neq y$.

Так могло бы получиться, лишь если бы обычное множество вещественных чисел было ограниченным в самом себе, т.е. содержало бы максимальный элемент. Не уверен, что это надо доказывать; и уж точно не здесь, а разве что гораздо раньше.

-- Пт фев 03, 2017 20:43:21 --

Dan B-Yallay в сообщении #1189551 писал(а):

mihaild в сообщении #1189534 писал(а):

Мы сначала берем множество расстояний до всех элементов пустого множества (оно конечно получается пустым)

А вот тут я опять спотыкаюсь на выделенном и нуждаюсь в помощи. Что такое "множество незвестно_чего"
И почему оно пустое?

Множество значений некоторой функции. А если функция нигде не определена, то и множество её значений пусто. Ведь что по определению называется значением функции?...

[mihaild]

Dan B-Yallay в сообщении #1189551 писал(а):

Что такое "множество незвестно_чего"

Мы взяли множество вещественных чисел, элементами которого являются те и только те вещественные числа, для которых существует такой элемент пустого множества, что это число - расстояние до этого элемента.

Возьмем функцию $g: X \times 2^X \to 2^\mathbb{R}, g(b, A) = \{\rho(b, a) | a \in A\}$. Тогда расстояние от $b$ до $A$ это по определению $\inf g(b, A)$.
Внимание, вопрос: чему равно $g(b, \varnothing)$?

[ewert]

mihaild в сообщении #1189556 писал(а):

Внимание, вопрос: чему равно $g(b, \varnothing)$?

Раньше было лучше:

mihaild в сообщении #1189534 писал(а):

$\inf\{f(x) | x \in A\}$.

При чём тут первый-то аргумент? А так ещё приходится задумываться о том, что из себя представляет в данном случае декартово произведение.

[Dan B-Yallay]

ewert в сообщении #1189552 писал(а):

Множество значений некоторой функции. А если функция нигде не определена, то и множество её значений пусто.

mihaild в сообщении #1189556 писал(а):

Мы взяли множество вещественных чисел, элементами которого являются те и только те вещественные числа, для которых существует такой элемент пустого множества, что это число - расстояние до этого элемента.

Спасибо, прояснилось.

mihaild в сообщении #1189556 писал(а):

Возьмем функцию $g: X \times 2^X \to 2^\mathbb{R}, g(b, A) = \{\rho(b, a) | a \in A\}$.

A булеан от $\mathbb R$ - это опечатка или я опять чего-то недопонимаю?

[ewert]

Dan B-Yallay в сообщении #1189562 писал(а):

A булеан от $\mathbb R$ - это опечатка или

Или. Потому что $g$ -- это множество значений функции $\rho$, т.е. некоторое подмножество.

(подозреваю, вопрос возник из-за того, что очень уж буковки похожи)

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1189563 писал(а):

(подозреваю, вопрос возник из-за того, что очень уж буковки похожи)

Да. А еще мне надо выспаться.