Производная и отношение дифференциалов высших порядков

[Ivan_B]

Помогите разобраться с "зависимостью"/"независимостью" переменных на примере:

$$y^{(n)}=\frac{d^ny}{dx^n}$$

В частном случае $y'=\frac{dy}{dx}$, тогда

$$y''=\frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx}=\frac{d^2y\ dx-dy\ d^2x}{dx^3}=\frac{d^2y}{dx^2}-\frac{dy}{dx}\frac{d^2x}{dx^2}$$

Получается, что первая формула верна, то есть $y''=\frac{d^2y}{dx^2}$, если $d^2x=0$.
В свою очередь, $d^2x=0$, если $x$ независимая переменная.
Что значит "независимая"? Всегда же можно написать $x=f(t)$ и сделать $x$ "зависимой".
Например, $y=\sqrt{1-x^2}$. В этом случае $x$ можно считать независимой переменной.
С другой стороны, можно считать, что $x=\cos(t)$, $y=\sin(t)$, $t \in [0;\pi]$ и $x$ нельзя считать независимой.
Получается, что и в первом и во втором случае рассматривается одна и та же кривая, но в первом случае $d^2x=0$, во втором $d^2x=-\cos(t)dt^2$
Где ошибка?

[loser228]

Так ведь в случае, когда $x, y$ являются функциями от $t$, то формулы для $y'_x$ и для высших производных по $x$ приобретают иной вид. Например, $y'_x=\frac{y'_t}{x'_t}$, $y''_{xx}=\frac{y''_{tt}x'_t-x''_{tt}y'_t}{(x'_t)^3}$ и так далее ...

[Ivan_B]

Если $x$, $y$ являются функциями от $t$, внешний вид формулы для $y'_x$ будет другой, но это никак не повлияет значение $y'_x$. Для случая с окружностью $y'_x\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{{\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}}}=-1$ и $y'_x=\frac{y'_t\left(\frac{\pi}{4}\right)}{x'_t\left(\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}{-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}=-1$. Но в случае с той же окружностью о $d^2x$ нельзя сказать тоже самое $-\cos(t)dt^2 \ne 0$

[arseniiv]

Ivan_B в сообщении #1188610 писал(а):

Что значит "независимая"? Всегда же можно написать $x=f(t)$ и сделать $x$ "зависимой".

На самом деле есть только зависимость функции от своих аргументов. Когда кто-то пишет $y = f(x), x = g(t)$, в действительности рассматриваются три разные функции $f\circ g, f, g$, о зависимости которых от своих аргументов (здесь единственного) можно говорить, что на язык переменных переведётся в этой ситуации для этих функций соответственно как зависимость $y$ от $t$, $y$ от $x$ и $x$ от $t$. Дифференциалы тут тоже — три в общем случае различные функции $d(f\circ g), df, dg$. А когда мы говорим о дифференциале независимой переменной, подразумевается дифференциал функции, выражающей зависимость этой переменной от себя, т. е. тождественной функции $\operatorname{id}, \operatorname{id}(x) = x$, чей дифференциал всегда $d(\operatorname{id})(x,\Delta x) = \operatorname{id}'(x)\Delta x = \Delta x$.

Зависима или независима переменная сама по себе — это просто фигура речи, позволяющая после написания зависимостей установить, какие же функции мы рассматриваем (а какие нет) — хотя их всегда можно было записать явно и не париться. Если сказать, что $x$ — независимая, то говорим только о функции $f$ и дифференциале $df$ (и, возможно, $g^{-1}$, если она существует, и $d(g^{-1})$). Если сказать, что $t$ — независимая, то говорим мы о $f\circ g$ и $g$ и их дифференциалах. Как-то так.

[Brukvalub]

Ivan_B в сообщении #1188610 писал(а):

Где ошибка?

А в чем здесь ошибка? Вот есть у вас пустая коробочка. Открываем ее - пустая! А потом положим в коробочку рюмочку. Открываем коробочку - а там РЮМОЧКА! В чем ошибка?

[Ivan_B]

arseniiv в сообщении #1188661 писал(а):

Если сказать, что $x$ — независимая, то говорим только о функции $f$ и дифференциале $df$ (и, возможно, $g^{-1}$, если она существует, и $d(g^{-1})$). Если сказать, что $t$ — независимая, то говорим мы о $f\circ g$ и $g$ и их дифференциалах.

Получается, что выбор "независимой" переменной — это что-то похожее на выбор системы координат. Выбрав $g$ вместо $x$ в качестве независимой переменной, можно считать, что $d^2g=0$, $f_g''=\frac{d^2f}{dg^2}$, при этом равенства $d^2x=0$ и $f_x''=\frac{d^2f}{dx^2}$ перестанут выполняться. Можно ли говорить об "удачном" выборе независимой переменной? Можно ли проводить аналогию между переходом в другую систему координат и переходом на другую независимую переменную?

Brukvalub в сообщении #1188726 писал(а):

В чем ошибка?

Ошибки нет.

[arseniiv]

Ivan_B в сообщении #1188790 писал(а):

Получается, что выбор "независимой" переменной — это что-то похожее на выбор системы координат.

Ну, системы координат это хотя бы полезная вещь, а вот формализовать зависимые и независимые переменные вместо того чтобы разбираться с дифференцированием — по-моему, пользы не принесёт. Этим можно заниматься, когда, скажем, проектируется какая-то система компьютерной алгебры, или, возможно, где-то в физике. Производные и дифференциалы берутся от функций, а какими буквами мы их и их аргументы зовём — это уже наши проблемы. Название переменных зависимыми или независимыми — если и вопрос, то уровня постановки задачи, а не самой задачи.

Потому

Ivan_B в сообщении #1188790 писал(а):

Можно ли говорить об "удачном" выборе независимой переменной? Можно ли проводить аналогию между переходом в другую систему координат и переходом на другую независимую переменную?

я лично бы ответил на это соответственно «не здесь» и «не сто́ит».

Вот если у нас есть действительно какая-то кривая, поверхность и т. п., точки которой имеют координаты $x_1,\ldots,x_n,y$, определённые её куски могут описываться как $\{ f(x_1,\ldots,x_n) = y, (x_1,\ldots,x_n)\in\Gamma \}$, и в зависимости от системы координат, функции $f$ и области $\Gamma$ это могут быть всякие множества, и т. п., и всякий там дифгем в $\mathbb R^n$, но зависимые и независимые переменные описать всё это только помешают.

[Ivan_B]

arseniiv в сообщении #1189038 писал(а):

Ну, системы координат это хотя бы полезная вещь, а вот формализовать зависимые и независимые переменные вместо того чтобы разбираться с дифференцированием — по-моему, пользы не принесёт.

Вопрос в том как разбираться. Цель - понимать, а не механически применять формулы. Пробую сейчас все подряд. Основная проблема с книгами - отсутствие практики, поэтому пробовал найти "полный курс", чтобы лекции, учебник, задания на дом, контрольные и решения к ним для самопроверки. Нашел американский курс по мат. анализу. Прошел первый семестр того курса(всего там их 3), но понимания не появилось. Вернулся обратно к книгам. Сейчас читаю Зорича, может, если от корки до корки прочесть, поможет, не уверен, по ходу дела возникают только вопросы. Вопросы на фундаментальные темы решил не задавать - не тот у меня уровень и не уверен, что если ответ узнаю, мне это сильно поможет с вопросами, которые были раньше. Если бы Вы смогли подсказать что читать и что решать или дать другую рекомендацию по самообразованию, был бы очень Вам признателен.

arseniiv в сообщении #1189038 писал(а):

Название переменных зависимыми или независимыми — если и вопрос, то уровня постановки задачи, а не самой задачи.

Вопрос о зависимых и независимых переменных появился из следующего.

$$d^2y+dy^2=dy^2\left(\frac{d^2y}{dy^2}+1\right)=dy^2(y_y''+1)=dy^2(0+1)=dy^2$$

arseniiv в сообщении #1189038 писал(а):

я лично бы ответил на это соответственно «не здесь» и «не сто́ит».

Тогда и не буду. Спасибо за Ваши ответы.

Brukvalub в сообщении #1188726 писал(а):

Вот есть у вас пустая коробочка. Открываем ее - пустая! А потом положим в коробочку рюмочку. Открываем коробочку - а там РЮМОЧКА!

В моем примере не так очевидно в какой момент рюмочка попала в коробочку, во всяком случае для меня. Если бы Вы смогли порекомендовать что почитать, чтобы прояснить этот вопрос, для случая с моим примером, был бы очень Вам признателен.

[Brukvalub]

Ivan_B в сообщении #1189095 писал(а):

Если бы Вы смогли порекомендовать что почитать, чтобы прояснить этот вопрос, для случая с моим примером, был бы очень Вам признателен.

Что тут можно порекомендовать? В каждой конкретной ситуации из контекста ясно, рассматривается ли та или иная переменная как независимая, или же она является функцией другой переменной. Специальных книг про это нет, да и написать такие книги невозможно.

[arseniiv]

Ivan_B в сообщении #1189095 писал(а):

Вопрос о зависимых и независимых переменных появился из следующего.

$$d^2y+dy^2=dy^2\left(\frac{d^2y}{dy^2}+1\right)=dy^2(y_y''+1)=dy^2(0+1)=dy^2$$

Пусть, скажем, $y$ — функция одного аргумента. Тогда $dy(x,h) = y'(x)h$, $d^2y(x,h) = y''(x)h^2$, $dy^2 = y'^2(x)h^2$. Тогда $\frac{d^2y}{dy^2}(x, h) = \frac{y''(x)}{y'^2(x)}$, что не зависит от $h$ и является тождественным нулём только в случае $y'\ne0, y''=0$, т. е. $y = cx, c\ne0$. В случае многих переменных это верно аналогично только для невырожденных линейных преобразований, хотя в этом случае лучше уже определять дифференциал по-нормальному как ковектор, второй как квадратичную форму и т. д..

А вот так просто писать переменные и не думать — это как раз то, чего я предлагал не делать. Помните, что за переменными стоят функции и вы работаете с ними, а переменными обозначаете параметры и значения функций только для удобства. Ниже выкладки предыдущего абзаца записаны «в переменных»:

Пусть $y = f(x)$. Тогда $dy = f'(x)\,dx$, $d^2y = f''(x)\,dx^2$, $dy^2 = f'^2(x)\,dx^2$. Тогда $\frac{d^2y}{dy^2} = \frac{f''(x)}{f'^2(x)}$ и т. д..

-- Ср фев 01, 2017 23:22:34 --

Ivan_B в сообщении #1189095 писал(а):

Сейчас читаю Зорича

По идее, должно помочь.

-- Ср фев 01, 2017 23:37:15 --

Вот кстати подробный пост Slav-27 прямо практически в тему-в тему: http://dxdy.ru/post1189137.html#p1189137.

[Mikhail_K]

Ivan_B в сообщении #1189095 писал(а):

Вопрос о зависимых и независимых переменных появился из следующего.

$$d^2y+dy^2=dy^2\left(\frac{d^2y}{dy^2}+1\right)=dy^2(y_y''+1)=dy^2(0+1)=dy^2$$

arseniiv в сообщении #1189148 писал(а):

Пусть $y = f(x)$. Тогда $dy = f'(x)\,dx$, $d^2y = f''(x)\,dx^2$, $dy^2 = f'^2(x)\,dx^2$. Тогда $\frac{d^2y}{dy^2} = \frac{f''(x)}{f'^2(x)}$ и т. д..

Короче говоря. Ошибка в том, что отношение дифференциалов $\frac{d^2y}{dx^2}$ - это не всегда вторая производная $y$ по $x$, а только в том случае, когда $y$ есть однозначная функция от $x$, а $x$ - независимая переменная.
Поэтому, если у нас есть функция $y=f(x)$ (а не независимая переменная $y$), то мы не можем так просто без обоснования записать $\frac{d^2y}{dy^2}=y^{\prime\prime}_y=0$.

Путаница возникает из-за того, что с первой производной всё проще: $\frac{dy}{dx}$ - это всегда производная $y$ по $x$ (полная), хоть $x$ - зависимая переменная, хоть независимая. Просто так получилось; но и это не очевидно, а доказывается в соответствующей теореме (инвариантность формы первого дифференциала).

А не очевидно это вот почему. Вы спрашиваете:

Ivan_B в сообщении #1188610 писал(а):

Что значит "независимая"? Всегда же можно написать $x=f(t)$ и сделать $x$ "зависимой".

Но выражение $dx$ означает совсем разные вещи в этих двух случаях.
Если $x$ - независимая переменная, то по определению $dx=\Delta x$ - просто приращение этой переменной.
(Иногда это "выводят" из некоторых доводов, но в принципе это всё равно вопрос соглашения.)
Если же $x=f(t)$ и независимой является переменная $t$, то $dx\neq \Delta x$ и $dx=f^\prime(t)\Delta t=f^\prime(t)dt$.
То есть в этих случаях дифференциалы просто определяются по-разному и обозначают разные вещи. Стоит ли удивляться, что и какие-то выражения с дифференциалами получаются отличающимися друг от друга?

[Ivan_B]

Это то, что мне нужно. Спасибо за Ваши ответы!