Колебательная цепочка в движении

[fred1996]

Пусть у нас для простоты есть $n$ одинаковых масс $m$ соединенных $n-1$ пружиной жесткости $k$ и одинаковой длины $l_0$. Описать движение такой системы с приложением постоянной силы $F$ к крайнему объекту. Скорее всего мы получим "стоячую волну" где объекты двигаются с какой-то одинаковой собственной частотой и со сдвигом по фазе. Мы предполагаем, что затухания нет. Нужно описать движение такой системы.

[Munin]

Надо задать ещё одно граничное условие. Полностью задачу см., например, в
Голдстейн. Классическая механика. Глава 11.

[fred1996]

Munin в сообщении #1187854 писал(а):

Надо задать ещё одно граничное условие. Полностью задачу см., например, в
Голдстейн. Классическая механика. Глава 11.

У меня на руках 3-е издание. Что-то не нашел.
Действительно, есть ощущение, что чего-то не хватает.
Пока не понял чего.

[Munin]

fred1996 в сообщении #1187858 писал(а):

Что-то не нашел.

11-ю главу?

[GraNiNi]

fred1996 в сообщении #1187858 писал(а):

Действительно, есть ощущение, что чего-то не хватает.

Коэффициента трения.
http://ivandriver.blogspot.ru/2015/11/n1-m-n-f.html

[realeugene]

fred1996 в сообщении #1187858 писал(а):

Действительно, есть ощущение, что чего-то не хватает.

Как минимум, не хватает начального состояния системы (начальные положения плюс скорости всех грузов). Потом не хватает утверждения о том, что $F$ - это все внешние силы. После этого движение системы можно будет проинтегрировать.

[fred1996]

realeugene в сообщении #1187982 писал(а):

fred1996 в сообщении #1187858 писал(а):

Действительно, есть ощущение, что чего-то не хватает.

Как минимум, не хватает начального состояния системы (начальные положения плюс скорости всех грузов). Потом не хватает утверждения о том, что $F$ - это все внешние силы. После этого движение системы можно будет проинтегрировать.

А, так начальное состояние предполагается как и в предыдущей задачке с двумя телами и одной пружиной. Все массы покоятся на столе без трения. Пружины не растянуты.
Интересно, можно ли угадать решение без составления N уравнений? Там ведь вылезет $N-1$ собственых частот. А в решении для данных начальных условий скорее всего будет только одна частота. Хочу адаптировать задачку для школьного уровня.

-- 28.01.2017, 14:07 --

GraNiNi в сообщении #1187977 писал(а):

fred1996 в сообщении #1187858 писал(а):

Действительно, есть ощущение, что чего-то не хватает.

Коэффициента трения.
http://ivandriver.blogspot.ru/2015/11/n1-m-n-f.html

Трения нет. Речь идет не об установившемся движении всех масс с одинаковым ускорением. А о незатухающих колебаниях.

[realeugene]

fred1996 в сообщении #1188170 писал(а):

Там ведь вылезет $N-1$ собственых частот. А в решении для данных начальных условий скорее всего будет только одна частота.

Нет, не одна. Система линейная, она хоть и имеет дискретный спектр собственных колебаний, но её движение происходит в непрерывном времени. В данном случае, система движется из нулевого начального состояния под действием внешней силы в виде функции Хэвисайда. Внешняя сила включается в начальный момент времени и, соответственно, имеет непрерывный бесконечный спектр. Эта дрожь на нерезонансных частотах будет передаваться движению каждого шарика в цепочке с ограниченным и вообще говоря ненулевым коэффициентом передачи (за исключением конечного набора нулей), кроме того, ввиду отсутствия затухания, энергия колебаний на нулевой частоте начнёт возрастать неограниченно, что, с одной стороны, соответствует равномерному ускорению центра масс, а с другой стороны, соответствует дельта-функции на нулевой частоте у функции Хэвисайда.

Disclasimer: к этим всем выводам я пришёл только из качественных рассуждений без анализа точного решения, которое в явном виде я не записывал и не анализировал. Соответственно, я мог что-либо упустить или проинтуировать неправильно.

PS Собственных частот у системы $N$. Одна нулевая.

PPS С другой стороны, в системе центра масс система эквивалентна системе с нулевой внешней силой, движущейся из ненулевого начального отклонения от состояния равновесия. Так что, все эти частоты функции хэвисайда взаимно уничтожатся, и останется только $N-1$ собственное колебание. Начальное отклонение от положения равновесия считается легко. Оно будет симметричным относительно центра. (?) Можно его найти и проверить, не соответствует ли это отклонение собственному движению с наименьшей ненулевой частотой? Не важно, наименьшей или нет, конечно.

[amon]

fred1996 в сообщении #1187843 писал(а):

Нужно описать движение такой системы.

Удобно заменить цепочку на упругий стержень. Принципиально ничего не изменится, а решать легче. Погуглите на "соударение стержней". Это похожая задача. Уравнения те же, только вместо граничного условия равенства скоростей на границе соприкосновения у Вас будет постоянная деформация на торце, к которому приложена сила. Мне сейчас не с руки все это написать (неудобно с планшета), но Вы легко найдете решение для соударяющихся стержней, которое надо слегонца подправить.

[levtsn]

Нельзя заменять на стержень, у стержня бесконечно мод, а тут их всего четыре, говорят.

[realeugene]

fred1996 в сообщении #1187843 писал(а):

Скорее всего мы получим "стоячую волну" где объекты двигаются с какой-то одинаковой собственной частотой и со сдвигом по фазе.

Нет. Все моды этой цепочки шариков имеют различные частоты. Моды похожи на искорёженные синусоиды. Чем короче длина волны - тем выше частота моды. Но в системе центра масс равновесное состояние - это когда сжатие пружин линейно возрастает вдоль цепочки. Что даёт параболическое отклонение координат грузиков от равномерного распределения их координат. Вершина параболы на краю цепочки, так что, начальное отклонение существенно несимметрично относительно центра. А все моды по какой-то причине оказываются или симметричными, или антисимметричными относительно центра цепочки. Хорошо бы вспомнить, почему. Но выходит, что начальное отклонение от положения равновесия не может соответствовать одной моде, следовательно, в колебаниях цепочки будет смесь нескольких резонансных частот, возможно, всех. В общем случае с некратными частотами. Соболезную.

[DimaM]

Для начала, думается, нужно получить закон дисперсии для свободных колебаний такой цепочки. Обычно ищут решение в виде бегущей волны, считая смещения от положения равновесия малыми по сравнению с $l_0$.
Дальше нужно задать граничные и начальные условия.

(Оффтоп)

А если добавить нелинейность, получится известная проблема Ферми-Паста-Улама.

[realeugene]

DimaM в сообщении #1188504 писал(а):

Для начала, думается, нужно получить закон дисперсии для свободных колебаний такой цепочки. Обычно ищут решение в виде бегущей волны, считая смещения от положения равновесия малыми по сравнению с $l_0$.

Да, для бесконечной цепочки. В отличие от волнового уравнения для сплошной среды, в этой задаче скорость волны будет зависеть от частоты. И, видимо, должны появиться мнимые экспоненциально затухающие (возрастающие) волны.

Но несложно показать, что движение рассматриваемой цепочки уже из трёх шариков в системе центра масс будет непериодическим. У такой цепочки две колебательные моды с отношением частот $\sqrt 3$, возбуждаются обе.

[levtsn]

Надо аналитически описать чтоли? А то берем строим модель, далее моделируем ее сколько нужно с нужной точностью, закон гука, закон ньютона, приращение бесконечно* малыми.