Ширяев,т.1,гл.1,пар.1,Пример 7

[crazy_taxi_driver]

В классе $n$ учеников. Их дни рождения - равновероятны, любой из 365. Найти вероятность того что в классе есть совпадения в ДР. (в оригинале больше букв).

Какое здесь вер. пространство?

Я бы применил модель неупорядоченных выборок с возвр. длины $n$ из 365. Ширяев берёт упорядоченные. Почему?

(дальнейший путь решения очевиден)
tag: "задача о совпадениях"

[mihaild]

Представьте, что в классе два ученика. Какова вероятность того, что они оба родились первого января? А того, что среди них есть родившийся первого, и есть родившийся второго?

[crazy_taxi_driver]

Ох, всё, понял. Упорядоченные надо брать, правда.

Когда класс "выбран", то внутри него - перестановки не важны (Вася+Лена = Лена+Вася), и поэтому кажется что нужны неупор. выборки. Однако нас интересует именно "процесс набора" классов ("внешний"). Там действительно нужны упор. выборки.

Извините, очередной идиотский вопрос был.

[Otta]

crazy_taxi_driver
При чем тут класс, не очень понятно.
Это то же, что с бросанием кубика. Равновероятны ли события $(1,1)$ и $(1,2)$ (упорядоченные наборы: первый, второй) ?
А если наборы неупорядочены - с равной ли вероятностью выпадает две единицы и одна единица, одна двойка?

А от ответа на вопрос о равновероятности зависит, имеете ли Вы дальше право использовать классическую вероятность или нет.

[crazy_taxi_driver]

Спасибо. (я вообще в восторге от этого форума).

Да, можно и кубик использовать (если у него число граней - 365).

Классическая вер-сть - задание функции на $\Omega$ - это следующий шаг после выбора $\Omega$; в ОП он меня не интересует. (и да, предполагается что можем использовать классич. вер-сть)

Ещё подробней, $n=2$. Петя и Лена родились 1 числа, Вася и Оля - 3-го. Один класс - Петя и Оля, т.е. $1,3$, а второй - Вася и Лена, т.е. $3,1$. Внутри класса $1,3=3,1$, но для процесса "набора классов" - $1,3 \ne 3,1$. Поэтому берём упор. выборки. Вобщем, мне ясно всё. Спасибо. Чтобы не отвлекать умных людей на ерунду, прошу модератора закрыть тему (или сам тоже могу?).

[Otta]

crazy_taxi_driver в сообщении #1187864 писал(а):

Классическая вер-сть - задание функции на $\Omega$ - это следующий шаг после выбора $\Omega$; в ОП он меня не интересует.

Это кажимость одна, что следующий шаг. И напрасно не интересует. Сперва нужно обеспечить пространство равновозможных элементарных исходов, иначе потом ничего не выйдет. Ширяев, говорите? Прочитайте прямо по тексту. Прямо перед Вашим примером.

(Оффтоп)

Насколько я знаю, тут не шибко принято закрывать темы просто так. Сами - точно не можете. )

-- 28.01.2017, 01:40 --

crazy_taxi_driver в сообщении #1187864 писал(а):

Ещё подробней, $n=2$. Петя и Лена родились 1 числа, Вася и Оля - 3-го. Один класс - Петя и Оля, т.е. $1,3$, а второй - Вася и Лена, т.е. $3,1$. Внутри класса $1,3=3,1$, но для процесса "набора классов" - $1,3 \ne 3,1$. Поэтому берём упор. выборки.

И почему-то мне все же кажется, что Вас упорно ведет не туда. Дело не в том, что во втором случае разным числам могут соответствовать разные имена, и упорядоченные пары, тем самым, различаются. Ну различаются. Ну и что. На то они и упорядоченные. Нас же волновал совсем другой вопрос - упорядочивать их или нет, а если да, то почему.

Дело в том, что пара, родившаяся в разные дни, встречается вдвое чаще, чем в один.

[crazy_taxi_driver]

Так, не надо закрывать тему..

Теперь (только) я понял Ваш предыдущий пост. Да, пожалуй, в какой-нибудь задаче правда, может возникнуть необходимость подбирать $\Omega$, а не просто задать как первое (разумное) что придёт в голову. Эта мысль у меня появилась лишь сейчас. Спасибо.

Otta в сообщении #1187869 писал(а):

Дело не в том, что во втором случае разным числам могут соответствовать разные имена, и упорядоченные пары, тем самым, различаются.

Не могут соответствовать, а соответствуют разные имена. Таков процесс набора учеников в классы (и тут, к слову, отсылка к равновозможным исходам - и классической вер-сти). А разные имена = разные люди = разные классы. Поэтому выпавшие наборы (учеников в классе, или граней кубиков) и считаем упорядочеными. Не знаю, я наверно плохо излагаю.. Но мне как-то понятно это..

Otta в сообщении #1187869 писал(а):

Дело в том, что пара, родившаяся в разные дни, встречается вдвое чаще, чем в один.

А вот это совсем не понял. $n=2, M=365$. $N(\Omega)=M^2$ (договорились, будем считать - упор. выборки). Число пар учеников, родившихся в один день = $M$, $P_1=M/M^2=1/M$. Число пар ... в разные дни = $M(M-1)$, $P_2=M(M-1)/M^2=1-1/M$. Где тут в 2 раза чаще?

[Otta]

crazy_taxi_driver в сообщении #1187881 писал(а):

Не могут соответствовать, а соответствуют разные имена. Таков процесс набора учеников в классы (и тут, к слову, отсылка к равновозможным исходам - и классической вер-сти). А разные имена = разные люди = разные классы. Поэтому выпавшие наборы (учеников в классе, или граней кубиков) и считаем упорядочеными. Не знаю, я наверно плохо излагаю.. Но мне как-то понятно это..

Да нормально Вы объясняете. Но Вы не то объясняете. Вы объясняете, как Вам проще понимать, что наборы лучше упорядочивать. Но лучше их упорядочивать не потому, что имена разные. Информациия о именах вообще лишняя (Вы ее взяли для своего понимания). В задаче ее нет. В задаче есть числа. Дни рождения. От 1 до 365. А в классе могут всех Ленами звать, и тогда все пропало.

crazy_taxi_driver в сообщении #1187881 писал(а):

Теперь (только) я понял Ваш предыдущий пост. Да, пожалуй, в какой-нибудь задаче правда, может возникнуть необходимость подбирать $\Omega$, а не просто задать как первое (разумное) что придёт в голову. Эта мысль у меня появилась лишь сейчас. Спасибо.

Да, и вот Вам пример. Вы именно его и разбираете.

crazy_taxi_driver в сообщении #1187881 писал(а):

А вот это совсем не понял. $n=2, M=365$. $N(\Omega)=M^2$ (договорились, будем считать - упор. выборки). Число пар учеников, родившихся в один день = $M$, $P_1=M/M^2=1/M$. Число пар ... в разные дни = $M(M-1)$, $P_2=M(M-1)/M^2=1-1/M$. Где тут в 2 раза чаще?

Во-первых, я считаю, для простоты $n=M=2$ (но забыла об этом сообщить).
Во-вторых, речь не об этом, а об элементарных исходах.

Мне не хотелось там писать формально, хорошо, напишу здесь.

Пространство элементарных исходов можно составить двояко:
$\Omega_1=\{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)\}$, то есть наборы упорядочены. Их вероятности одинаковы. Все по $1/4$.
Неупорядоченных наборов три: $\{1,1\},\{1,2\},\{2,2\}$. Если предположить, что пространство элементарных исходов $\Omega_2$ состоит из них и они равновероятны, то вероятности у них, очевидно $1/3$ у каждого.
Мы согласимся с этим?

Видимо, нет. Именно об этом (об элементарных исходах) я и говорю. Вероятность исхода $\{1,2\}$ вдвое выше, чем у каждого из оставшихся. Поэтому, задав такое пространство, классическую вероятность использовать не удастся. Как этого избежать? Путем, который сперва кажется искусственным. Упорядочить наборы.

-- 28.01.2017, 03:51 --

crazy_taxi_driver в сообщении #1187881 писал(а):

Да, пожалуй, в какой-нибудь задаче правда, может возникнуть необходимость подбирать $\Omega$, а не просто задать как первое (разумное) что придёт в голову.

Это, кстати, типичное упущение - не обращать внимание на равновозможность (и как следствие, забывать о ней упоминать. На экзамене, например.)

Простой пример. Пусть у нас есть монета. Элементарные исходы при одном подбрасывании понятно какие. О, Р.
Вероятность какая того что орел? число благоприятных на число всех, одна вторая, ага.

Запомнили! одна вторая. Ибо число благоприятных на число всех, ну как же.

Внимание, вопрос: А если монета настолько заговоренная, что орел выпадает вдвое чаще? Какая вероятность?
Да вроде такая же. Если прозевать, то будет такая же.

В простых задачах мало кто зевает, все-таки что-то настораживает, а вообще, если не помнить, то можно и забыть.

-- 28.01.2017, 04:21 --

И еще. Посмотрите, например, у Гнеденко "Курс теории вероятностей". Глава 1, параграф 3, пример 1.
Гнеденко вообще любит всякие экскурсы в историю, а в конце учебника у него небольшой очерк по истории теории вероятностей - тоже очень интересно.
Так вот, возвращаясь к примеру 1. Там изложена некая то ли легенда, то ли быль, произошедшая будто бы с Галилелем и тремя кубиками. :) Она очень известна, и в общем, ее многие авторы (по-разному) излагают. Вот если отвлечься от деталей, она как раз в тему. Да и вообще, приятным языком написано, рекомендую.

-- 28.01.2017, 04:23 --

(Оффтоп)

P.S. Всегда удивлялась, как люди исхитряются писать большие посты.

[ewert]

crazy_taxi_driver в сообщении #1187811 писал(а):

Ширяев берёт упорядоченные. Почему?

Потому, что дни рождения независимы. Именно из их независимости следует, что равновероятны именно упорядоченные наборы дней, т.е. что их количество именно $365^n$.

Т.е. вопрос в определённом смысле преждевременен -- понятие независимости идёт после классической вероятности. Но тут уж ничего не поделаешь, ситуация достаточно типична.

[crazy_taxi_driver]

Otta в сообщении #1187884 писал(а):

... Вероятность исхода $\{1,2\}$ вдвое выше, чем у каждого из оставшихся. ...

Вот чем хороши математики - что ясно понимают (и могут ясно изложить) то, что "витает" в голове у нематематиков.

Видимо это же имел ввиду mihaild в своей подсказке (которую я сначала не понял).

Всем спасибо!