Невозможность непрерывного биективного отображения

[_Y_]

Здравствуйте!

Не могли бы вы помочь мне разобраться в следующем очевидном факте.

Невозможно построить биективное непрерывное отображение отрезка на квадрат. Данный факт объясняется тем, что квадрат после удаления одной точки остаётся связным множеством, а отрезок нет.

Это доказывается просто по определению, взяв последовательность точек, сходящуюся к отмеченной?

[Anton_Peplov]

Никаких последовательностей брать не нужно. Рассмотрим биекцию $f: X \to Y$ и произвольное $A \subset X$. Выразите, пжалуйста $f(X \setminus A)$ через $Y$ и $f(A)$.

[_Y_]

Эээ.. Что-то я не очень понял..

Множества X и Y это и есть те несвязное и связное множества между которыми построена непрерывная биекция? Или это отрезок и квадрат?

[mihaild]

Задача Anton_Peplov решается одинаково для любых $X, Y, A$ (потом мы действительно будем что-то подставлять вместо $X$ и $Y$).

[_Y_]

Может быть, в силу биективности исходного отображения $f(X\setminus A) = Y\setminus f(A)$?

[Anton_Peplov]

_Y_ в сообщении #1187816 писал(а):

Может быть, в силу биективности исходного отображения $f(X \setminus A) = Y\setminus f(A)$?

Именно. Но формулы надо оформлять. Мы, конечно, молчаливо предполагаем, что $f(X) = Y$; в противном случае надо писать $f(X \setminus A) = f(X) \setminus f(A)$.
Теперь остается вспомнить, какая есть теорема про непрерывный образ связного множества. И сложить два и два.

[_Y_]

Да, безусловно, я имел ввиду $Y = f(X)$. Прошу прощения.

Вы имеете ввиду теорему, что образ связного пространства при непрерывном отображении связен? Да, действительно, всё получается. Большое спасибо!

[vpb]

В рассуждении некоторый пробел. Если есть отображение одного топологического пространства на другое, непрерывное и биективное, то обратное к нему не обязательно непрерывно. Но если $X$ компактно, то обратное непрерывно (и тогда исходное отображение --- гомеоморфизм).

[_Y_]

Да, спасибо.

Скажите пожалуйста, а возможно ли построить конструктивное (т.е. конкретно указать какие точки, каким соответствуют) биективное отображение отрезка на квадрат?

[DeBill]

_Y_
А чем Вам не нравится стандартное отображение , которое точке $0.\varepsilon_1,\varepsilon_2,....$ отрезка $[0,1]$ ставит в соответствие точку $(0.\varepsilon_1,\varepsilon_3,...; 0.\varepsilon_2, \varepsilon_4, ....)$ квадрата?

(Оффтоп)

Неужели тем, что имеется неоднозначность в записи чисел в виде десятичнойдвоичной дроби? И правильно не нравится! Так что это отображение надо еще подправить, запретив, например, дроби, оканчивающиеся на одни девяткиединички . Правда, теперь потеряется сюръективность. Но и ее моно починить.... И т.д., и т.п. - вот оно и получится Ваше "конструктивное" отображение....
И со словом "констуктивное" - поосторожней. Фишка в том, что с точки зрения конструктивной математики (без кавычек!), то что мы предложили тут, отображением (конструктивным) не является, блин....

[Anton_Peplov]

Где-то здесь на форуме такую биекцию уже строили и даже построили, поищите.

[Sender]

Интересно, существует ли столь же простое доказательство того, что $\mathbb{R}^n$ невозможно непрерывно биективно отобразить на $\mathbb{R}^{n+1}$? Похоже, должна как-то применяться линейная связность, например, в $\mathbb{R}^3$ можно себе представить, скажем, два кольца, продетых друг сквозь друга, в отличие от $\mathbb{R}^2$.

[Anton_Peplov]

Sender в сообщении #1187971 писал(а):

Интересно, существует ли столь же простое доказательство того, что $\mathbb{R}^n$ невозможно непрерывно биективно отобразить на $\mathbb{R}^{n+1}$?

Если добавить, что и обратная функция должна быть непрерывной, то существует универсальное доказательство всех таких утверждений. В одну строку: "гомеоморфизм сохраняет размерность".

[_Y_]

DeBill в сообщении #1187959 писал(а):

_Y_
А чем Вам не нравится стандартное отображение , которое точке $0.\varepsilon_1,\varepsilon_2,....$ отрезка $[0,1]$ ставит в соответствие точку $(0.\varepsilon_1,\varepsilon_3,...; 0.\varepsilon_2, \varepsilon_4, ....)$ квадрата?

(Оффтоп)

Неужели тем, что имеется неоднозначность в записи чисел в виде десятичнойдвоичной дроби? И правильно не нравится! Так что это отображение надо еще подправить, запретив, например, дроби, оканчивающиеся на одни девяткиединички . Правда, теперь потеряется сюръективность. Но и ее моно починить.... И т.д., и т.п. - вот оно и получится Ваше "конструктивное" отображение....
И со словом "констуктивное" - поосторожней. Фишка в том, что с точки зрения конструктивной математики (без кавычек!), то что мы предложили тут, отображением (конструктивным) не является, блин....

Да, именно этим оно мне и не нравится. Отображение, которое Вы предложили не биективно. Исправлять его, как Вы пишите, тоже, если честно, не очень хочется.

Скажите, а нет ли каких-нибудь "геометрических" построений оного?

Anton_Peplov в сообщении #1187963 писал(а):

Где-то здесь на форуме такую биекцию уже строили и даже построили, поищите.

Спасибо, Антон. Поищу. Но там, наверное, приведено примерно то, о чём пишет DeBill?

[vpb]

Sender
Именно так оно обычно и доказывается. Но при этом используются "высшие" аналоги понятия связности, а именно, некоторые группы гомологий. (Линейная связность пространства означает в точности, что его нулевая группа (сингулярных) гомологий --- это $\mathbb Z$ ). См. например А.Дольд, Лекции по алгебраической топологии.