2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Невозможность непрерывного биективного отображения
Сообщение27.01.2017, 15:54 
Здравствуйте!

Не могли бы вы помочь мне разобраться в следующем очевидном факте.

Невозможно построить биективное непрерывное отображение отрезка на квадрат. Данный факт объясняется тем, что квадрат после удаления одной точки остаётся связным множеством, а отрезок нет.

Это доказывается просто по определению, взяв последовательность точек, сходящуюся к отмеченной?

 
 
 
 Re: Невозможность непрерывного биективного отображения
Сообщение27.01.2017, 16:11 
Аватара пользователя
Никаких последовательностей брать не нужно. Рассмотрим биекцию $f: X \to Y$ и произвольное $A \subset X$. Выразите, пжалуйста $f(X \setminus A)$ через $Y$ и $f(A)$.

 
 
 
 Re: Невозможность непрерывного биективного отображения
Сообщение27.01.2017, 19:09 
Эээ.. Что-то я не очень понял..

Множества X и Y это и есть те несвязное и связное множества между которыми построена непрерывная биекция? Или это отрезок и квадрат?

 
 
 
 Re: Невозможность непрерывного биективного отображения
Сообщение27.01.2017, 19:32 
Аватара пользователя
Задача Anton_Peplov решается одинаково для любых $X, Y, A$ (потом мы действительно будем что-то подставлять вместо $X$ и $Y$).

 
 
 
 Re: Невозможность непрерывного биективного отображения
Сообщение27.01.2017, 19:56 
Может быть, в силу биективности исходного отображения $f(X\setminus A) = Y\setminus f(A)$?

 
 
 
 Re: Невозможность непрерывного биективного отображения
Сообщение27.01.2017, 20:06 
Аватара пользователя
_Y_ в сообщении #1187816 писал(а):
Может быть, в силу биективности исходного отображения $f(X \setminus A) = Y\setminus f(A)$?
Именно. Но формулы надо оформлять. Мы, конечно, молчаливо предполагаем, что $f(X) = Y$; в противном случае надо писать $f(X \setminus A) = f(X) \setminus f(A)$.
Теперь остается вспомнить, какая есть теорема про непрерывный образ связного множества. И сложить два и два.

 
 
 
 Re: Невозможность непрерывного биективного отображения
Сообщение27.01.2017, 20:20 
Да, безусловно, я имел ввиду $Y = f(X)$. Прошу прощения.

Вы имеете ввиду теорему, что образ связного пространства при непрерывном отображении связен? Да, действительно, всё получается. Большое спасибо!

 
 
 
 Re: Невозможность непрерывного биективного отображения
Сообщение28.01.2017, 04:03 
В рассуждении некоторый пробел. Если есть отображение одного топологического пространства на другое, непрерывное и биективное, то обратное к нему не обязательно непрерывно. Но если $X$ компактно, то обратное непрерывно (и тогда исходное отображение --- гомеоморфизм).

 
 
 
 Re: Невозможность непрерывного биективного отображения
Сообщение28.01.2017, 11:21 
Да, спасибо.

Скажите пожалуйста, а возможно ли построить конструктивное (т.е. конкретно указать какие точки, каким соответствуют) биективное отображение отрезка на квадрат?

 
 
 
 Re: Невозможность непрерывного биективного отображения
Сообщение28.01.2017, 12:05 
_Y_
А чем Вам не нравится стандартное отображение , которое точке $0.\varepsilon_1,\varepsilon_2,....$ отрезка $[0,1]$ ставит в соответствие точку $(0.\varepsilon_1,\varepsilon_3,...; 0.\varepsilon_2, \varepsilon_4, ....)$ квадрата?

(Оффтоп)

Неужели тем, что имеется неоднозначность в записи чисел в виде десятичнойдвоичной дроби? И правильно не нравится! Так что это отображение надо еще подправить, запретив, например, дроби, оканчивающиеся на одни девяткиединички . Правда, теперь потеряется сюръективность. Но и ее моно починить.... И т.д., и т.п. - вот оно и получится Ваше "конструктивное" отображение....
И со словом "констуктивное" - поосторожней. Фишка в том, что с точки зрения конструктивной математики (без кавычек!), то что мы предложили тут, отображением (конструктивным) не является, блин....

 
 
 
 Re: Невозможность непрерывного биективного отображения
Сообщение28.01.2017, 12:33 
Аватара пользователя
Где-то здесь на форуме такую биекцию уже строили и даже построили, поищите.

 
 
 
 Re: Невозможность непрерывного биективного отображения
Сообщение28.01.2017, 13:01 
Интересно, существует ли столь же простое доказательство того, что $\mathbb{R}^n$ невозможно непрерывно биективно отобразить на $\mathbb{R}^{n+1}$? Похоже, должна как-то применяться линейная связность, например, в $\mathbb{R}^3$ можно себе представить, скажем, два кольца, продетых друг сквозь друга, в отличие от $\mathbb{R}^2$.

 
 
 
 Re: Невозможность непрерывного биективного отображения
Сообщение28.01.2017, 13:44 
Аватара пользователя
Sender в сообщении #1187971 писал(а):
Интересно, существует ли столь же простое доказательство того, что $\mathbb{R}^n$ невозможно непрерывно биективно отобразить на $\mathbb{R}^{n+1}$?
Если добавить, что и обратная функция должна быть непрерывной, то существует универсальное доказательство всех таких утверждений. В одну строку: "гомеоморфизм сохраняет размерность".

 
 
 
 Re: Невозможность непрерывного биективного отображения
Сообщение28.01.2017, 16:38 
DeBill в сообщении #1187959 писал(а):
_Y_
А чем Вам не нравится стандартное отображение , которое точке $0.\varepsilon_1,\varepsilon_2,....$ отрезка $[0,1]$ ставит в соответствие точку $(0.\varepsilon_1,\varepsilon_3,...; 0.\varepsilon_2, \varepsilon_4, ....)$ квадрата?

(Оффтоп)

Неужели тем, что имеется неоднозначность в записи чисел в виде десятичнойдвоичной дроби? И правильно не нравится! Так что это отображение надо еще подправить, запретив, например, дроби, оканчивающиеся на одни девяткиединички . Правда, теперь потеряется сюръективность. Но и ее моно починить.... И т.д., и т.п. - вот оно и получится Ваше "конструктивное" отображение....
И со словом "констуктивное" - поосторожней. Фишка в том, что с точки зрения конструктивной математики (без кавычек!), то что мы предложили тут, отображением (конструктивным) не является, блин....


Да, именно этим оно мне и не нравится. Отображение, которое Вы предложили не биективно. Исправлять его, как Вы пишите, тоже, если честно, не очень хочется.

Скажите, а нет ли каких-нибудь "геометрических" построений оного?

Anton_Peplov в сообщении #1187963 писал(а):
Где-то здесь на форуме такую биекцию уже строили и даже построили, поищите.


Спасибо, Антон. Поищу. Но там, наверное, приведено примерно то, о чём пишет DeBill?

 
 
 
 Re: Невозможность непрерывного биективного отображения
Сообщение28.01.2017, 16:48 
Sender
Именно так оно обычно и доказывается. Но при этом используются "высшие" аналоги понятия связности, а именно, некоторые группы гомологий. (Линейная связность пространства означает в точности, что его нулевая группа (сингулярных) гомологий --- это $\mathbb Z$ ). См. например А.Дольд, Лекции по алгебраической топологии.

 
 
 [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group