Помогите посчитать lim(sin(x^2)-x^2)/(1-cos(x^3). Х->0

[Luctator]

Считал предел

$$\lim\limits_{x\to0}{\frac{\sin{x^2}-{x^2}}{1-\cos{x^3}}}$$

Заменил его на

$$\lim\limits_{x\to0}{\frac{2\sin{\frac{x^2}{2}}\cos{\frac{x^2}{2}}-{x^2}}{2\sin^2{\frac{x^3}{2}}}$$

Далее разложил синусы и косинусы по асимптотическим формулам:

$$\sin{\frac{x^2}{2}}=\frac{x^2}{2}+o\left\langle{x^2}\right\rangle$$

$$\cos{\frac{x^2}{2}}=1-{\frac{x^4}{8}}+o\left\langle{x^4}\right\rangle$$

$$\sin^2{\frac{x^3}{2}}={\frac{x^6}{4}+o{\left\langle {x^6}\right\rangle}$$

Подставил все это дело в предел :

$$\lim\limits_{x\to 0}{{\frac{2\left\lbrace\frac{x^2}{2}+o\left\langle{x^2}\right\rangle\right\rbrace\left\lbrace1-{\frac{x^4}{8}}+o\left\langle{x^4}\right\rangle\right\rbrace}{\frac{x^6}{4}+o{\left\langle{x^6}\right\rangle}}$$

В числителе скобки перемножил, иксы в квадрате сократил, далее поделил на икс в шестой.

В результате у меня получилось -1/4
Полез в WolframAlpha забил его туда. Он мне выдает -1/3.
Где я не прав?

[Karan]

Недоразложили первый синус. Запишите формулы с помощью TeX, пожалуйста.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Metford]

Luctator в сообщении #1187283 писал(а):

Полез в WolframAlpha забил его туда. Он мне выдает -1/3.

И правильно выдаёт. Вы зачем-то стали переходить к половинному аргументу, тогда как нужно было просто сразу воспользоваться разложениями для синуса и косинуса до нужного порядка. Было бы гораздо проще.

[Xaositect]

Luctator в сообщении #1187283 писал(а):

Заменил его на

$$\lim\limits_{x\to0}{\frac{2\sin{\frac{x^2}{2}}\cos{\frac{x^2}{2}}-{x^2}}{2\sin^2{\frac{x^3}{2}}}$$

Зачем? Стало хуже.

[Karan]

Luctator в сообщении #1187283 писал(а):

$$\lim\limits_{x\to 0}{{\frac{2\left\lbrace\frac{x^2}{2}+o\left\langle{x^2}\right\rangle\right\rbrace\left\lbrace1-{\frac{x^4}{8}}+o\left\langle{x^4}\right\rangle\right\rbrace}{\frac{x^6}{4}+o{\left\langle{x^6}\right\rangle}}$$

Тут сверху ничего точнее, чем $o(x^2)$, получить нельзя. Для того, чтобы получить что-нибудь полезное, нужно второе слагаемое в синусе, которое будет порядка $x^6$.

[Luctator]

Metford в сообщении #1187313 писал(а):

Luctator в сообщении #1187283 писал(а):

Полез в WolframAlpha забил его туда. Он мне выдает -1/3.

нужно было просто сразу воспользоваться разложениями для синуса и косинуса до нужного порядка. Было бы гораздо проще.

Я правильно понимаю, что для этого асимптотические формулы не работают? Только формула Тейлора?

[Metford]

Luctator в сообщении #1187323 писал(а):

что для этого асимптотические формулы не работают?

Асимптотическая формула - это вообще из другой оперы. Вы, видимо, имеете в виду разложения типа $\sin x=x+o(x)$ при $x\to 0$. Да, в таком виде для синуса будет маловато - хотя бы из того исходя, что в знаменателе другая степень $x$, а в числителе просто нуль получится. Нужно ещё слагаемое удержать.

[Luctator]

Metford в сообщении #1187329 писал(а):

Luctator в сообщении #1187323 писал(а):

что для этого асимптотические формулы не работают?

Асимптотическая формула - это вообще из другой оперы. Вы, видимо, имеете в виду разложения типа $\sin x=x+o(x)$ при $x\to 0$. Да, в таком виде для синуса будет маловато - хотя бы из того исходя, что в знаменателе другая степень $x$, а в числителе просто нуль получится. Нужно ещё слагаемое удержать.

Вас понял, спасибо за ответ!

[Lia]

Luctator
1) Чтобы процитировать часть поста, выделите эту часть и нажмите кнопку "Вставка".
2) Вы не обязаны цитировать что-либо, если нет необходимости.

[Brukvalub]

Luctator в сообщении #1187283 писал(а):

В числителе скобки перемножил, иксы в квадрате сократил, далее поделил на икс в шестой.

Как можно "сократить" выражения в числителе? Мне за такие фразочки Марьванна в 5-м классе у доски тряпкой в морду запустила, чем на всю жизнь отучила ересь нести!
Подобные члены не сокращаются, а "взаимно уничтожаются", но в числителе не возникает подобных членов!

[ewert]

Luctator в сообщении #1187323 писал(а):

асимптотические формулы не работают? Только формула Тейлора?

Формула Тейлора -- она и есть асимптотическая.

Luctator в сообщении #1187283 писал(а):

$$\lim\limits_{x\to 0}{{\frac{2\left\lbrace\frac{x^2}{2}+o\left\langle{x^2}\right\rangle\right\rbrace\left\lbrace1-{\frac{x^4}{8}}+o\left\langle{x^4}\right\rangle\right\rbrace}{\frac{x^6}{4}+o{\left\langle{x^6}\right\rangle}}$$

Ну допустим (не считая потери одного слагаемого вверху). А теперь раскройте скобки вверху и посмотрите, что выйдет. Только честно раскрывайте, ничего не теряя.