Теория моделей, матлогика. Полные теории

[knizhnik]

(Оффтоп)

Да, мне стоило воздержаться. Признаю.
Тогда этот вопрос значительно сложнее, чем он мне показался первоначально.

[Iv_Vol]

А если взять некоторое расширение нашей теории, для которого будет существовать класс моделей, состоящих из одного элемента (те в множестве, на котором задана модель - всего один элемент) - будет ли эта теория полной? Или как доказать, что она не полная?
Как вариант, нужно придумать такое высказывание, для которого ни $\varphi$, ни $\neg \varphi$ не содержатся в этой теории, но мне пока на ум ни одной не пришло.

[knizhnik]

(Оффтоп)

Удалил.
Кажется, это здесь не нужно.

[arseniiv]

Iv_Vol в сообщении #1186605 писал(а):

А если взять некоторое расширение нашей теории, для которого будет существовать класс моделей, состоящих из одного элемента (те в множестве, на котором задана модель - всего один элемент) - будет ли эта теория полной? Или как доказать, что она не полная?

Имеется в виду, мы добавим аксиому $\forall x\forall y(x = y)$ и получим теорию, носители (нормальных) моделей которой одноэлементные? Должна быть полной, хотя я чего-то застрял насчёт доказательства этого.

[knizhnik]

arseniiv, тут еще все зависит от того, как мы понимаем и интерпретируем равенство. Например, можно взять $x=y \leftrightarrow y \leqslant x$ и ничего не получится.

[arseniiv]

Специально по этому поводу я написал

arseniiv в сообщении #1186615 писал(а):

(нормальных) моделей

В нормальной модели $=$ должно интерпретироваться как равенство по определению.

[Iv_Vol]

Выписка из Вики:
"Если на алгебраических системах A и B истинны одни и те же замкнутые формулы, то A и B называются элементарно эквивалентными. Таким образом, A и B элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда они являются моделью одной и той же полной теории.

Если полная теория T имеет конечную модель A, то все модели теории T изоморфны A, в частности, все они содержат такое же количество элементов. Следовательно, для конечных алгебраических систем понятия элементарной эквивалентности и изоморфизма совпадают."
У нас все модели, у которых всего один элемент изоморфны друг другу, следовательно, элементарно эквивалентны. А и В элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда они являются моделью одной и той же полной теории. Следовательно, теория
$ A1: \forall x (x \leqslant x)$
$ A2: \forall x \forall y ((x\leqslant y \wedge y\leqslant x) \to x = y) $
$ A3: \forall x \forall y \forall z ((x\leqslant y \wedge y \leqslant z) \to x\leqslant z) $
$ A4: \forall x \forall y (x\leqslant y \vee y \leqslant x) $
$ A5: \forall x \forall y ((x\leqslant y \wedge \neg x = y) \to \exists z (x \leqslant z \wedge z \leqslant y \wedge \neg x = z \wedge \neg z = y)) $
$ A6: \forall x\forall y(x = y) $
является полной.

Других вариант конечных теорий нет.

[knizhnik]

arseniiv, да, извиняюсь, это существенно.

[arseniiv]

Iv_Vol в сообщении #1186623 писал(а):

Таким образом, A и B элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда они являются моделью одной и той же полной теории

Влево да, вправо нет: бывают элементарно эквивалентные интерпретации, не являющиеся моделями какой-то теории.

[Iv_Vol]

Вы имеете в виду интерпретацию модели на теории? Но ведь я рассматриваю А и В, на которых истинны формулы А1-А6, притом что у систем А и В в множестве всего один элемент. Значит, и интерпретация этих моделей возможна только одна.

[arseniiv]

Не существует интерпретаций моделей. Интерпретация языка первого порядка — это присвоение его формулам значений истинности (по определённым правилам). Модель теории — это интерпретация соотв. языка такая, что все формулы теории истинны. Возьмите нормальный учебник.

Интерпретаций у языка сигнатуры $(=,\leqslant)$ великое множество, а моделей у вашей теории с точностью до изоморфизма действительно одна.

Iv_Vol в сообщении #1186623 писал(а):

Других вариант конечных теорий нет.

Моделей. Но полноту вы выше всё же не показали. Вот как последовательно и довольно коротко это сделать:

Теорема: Если любые две модели непротиворечивой теории $\mathcal T$ элементарно эквивалентны, она полна.

Доказательство: От противного, пусть $\mathcal T$ неполна, и значит, существует замкнутая формула $\varphi$ такая, что $\{\varphi,\neg\varphi\}\not\subset\mathcal T$. Образуем теории $\mathcal T_1 = \{\chi : \mathcal T,\varphi\vDash\chi\}$, $\mathcal T_2 = \{\chi : \mathcal T,\neg\varphi\vDash\chi\}$, обе непротиворечивые и имеющие потому хотя бы по модели, скажем, соответственно $\mathcal M_1,\mathcal M_2$. В $\mathcal M_1$ формула $\varphi$ истинна, в $\mathcal M_2$ ложна, так что они не элементарно эквивалентны; противоречие. ◼

[Iv_Vol]

Да, я понял, о чем
В голове все уже смешалось
Большое спасибо за помощь!