Не существует интерпретаций моделей. Интерпретация языка первого порядка — это присвоение его формулам значений истинности (по определённым правилам). Модель теории — это интерпретация соотв. языка такая, что все формулы теории истинны. Возьмите нормальный учебник.
Интерпретаций у языка сигнатуры

великое множество, а моделей у вашей теории с точностью до изоморфизма действительно одна.
Других вариант конечных теорий нет.
Моделей. Но полноту вы выше всё же не показали. Вот как последовательно и довольно коротко это сделать:
Теорема: Если любые две модели непротиворечивой теории

элементарно эквивалентны, она полна.
Доказательство: От противного, пусть

неполна, и значит, существует замкнутая формула

такая, что

. Образуем теории

,

, обе непротиворечивые и имеющие потому хотя бы по модели, скажем, соответственно

. В

формула

истинна, в

ложна, так что они не элементарно эквивалентны; противоречие. ◼