случайные процессы

[--mS--]

Мне кажется, более чем достаточно того, что процесс Пуассона не убывает п.н., поэтому $\sup_{0\leqslant s\leqslant t}X_s = X_t$ п.н.

[Henrylee]

Да, перемудрил, дело к ночи было
Тогда вместо нер-ва для мартингалов, неравенство Чебышева.

[Optimizer of control]

Почему процесс Пуассона не убывает? $e^{-\lambda t}$ убывает быстрее, чем $t^k$ возрастает. Если все же процесс Пуассона не убывает, то в доказательстве задачи нужно применять неравенство Чебышева к $Y_t$?

[Henrylee]

Optimizer of control писал(а):

Почему процесс Пуассона не убывает?

Вспомните, какое распределение имеет случайная величина $\Pi_t-\Pi_s$ при $t>s$

Optimizer of control писал(а):

Если все же процесс Пуассона не убывает, то в доказательстве задачи нужно применять неравенство Чебышева к $Y_t$?

Если после этого применять достаточное условие, использкющее ряд (см. выше), то применять нер-во Чебышева нужно к $Y_n$, $n$ - натуральное.
А уж перейти потом к действительным $t$ совсем нетрудно.

[Optimizer of control]

$P(X_t-X_s = k) = \frac{(\lambda(t-s))^k}{k!}e^{-\lambda (t-s)}. Только непонятно когда там вероятность равна 1?

Добавлено спустя 32 минуты 34 секунды:

Попробовал применить неравенство Чебышева и получился несходящийся ряд, т.е. $P(|Y_t| \ge \epsilon t) \le \frac{\lambda}{\epsilon t}$.
Может я не так что-то вычислил. $EY_t = 0, DY_t = DX_t = \lambda t?$

Добавлено спустя 7 минут 25 секунд:

В неравенстве t - натуральное.

[Henrylee]

Optimizer of control писал(а):

$P(X_t-X_s = k) = \frac{(\lambda(t-s))^k}{k!}e^{-\lambda (t-s)}. Только непонятно когда там вероятность равна 1?

$$ P\left\{X_t-X_s\geqslant 0\right\}=1 $$

Optimizer of control писал(а):

Попробовал применить неравенство Чебышева и получился несходящийся ряд, т.е. $P(|Y_t| \ge \epsilon t) \le \frac{\lambda}{\epsilon t}$.
Может я не так что-то вычислил. $EY_t = 0, DY_t = DX_t = \lambda t?$

Добавлено спустя 7 минут 25 секунд:

В неравенстве t - натуральное.

Используйте нер-во Чебышева для 3-ей степени. Как в нер-ве для мартингалов.

Добавлено спустя 2 минуты 30 секунд:

Кстати, Ваше нер-во тоже неверно ($\epsilon$ должен быть в квадрате)

[Optimizer of control]

С $\epsilon$ действительно ошибся. А неравенство Чебышева 3-й степени что-то не получается найти.

[Henrylee]

Чего его искать.

$$ P\{|Y_n|>\varepsilon n\}=P\{|Y_n|^3>\varepsilon^3 n^3\}\leqslant\frac{E|Y_n|^3}{\varepsilon^3n^3} $$

[Optimizer of control]

А почему $\sup_{0\le s \le n}|X_s - s\lambda| = |Y_n|?$ Всё же, $ -s\lambda$ убывает.

[Henrylee]

Кстати, я в свое время ошибся, написав

$$ E\left|X_n-n\lambda\right|^3=n\lambda $$

Поэтому посчитайте сами. (Или возьмите 4-ю степень).

Добавлено спустя 3 минуты 22 секунды:

Optimizer of control писал(а):

А почему $\sup_{0\le s \le n}|X_s - s\lambda| = |Y_n|?$

Это никто и не утверждал.

Добавлено спустя 7 минут 26 секунд:

Вы сейчас пытатесь смешать разные неравенства. Еще раз. В связи с неубыванием пуассоновского процесса достаточно доказать, что п.н.

$$ X_t/t\to\lambda $$

Для этого мы рассматриваем $Y_n=X_n-n\lambda$ и старамся доказать, что п.н.

$$ Y_n/n\to 0 $$

Далее мы используем нер-во Чебышева и достаточное условие п.н. сходимости.

[Optimizer of control]

Как быстрее посчитать $E|Y_n|^3$? Единственное что приходит в голову - посчитать по определению. Может есть другой способ?

Добавлено спустя 29 минут 1 секунду:

Для 4-й степени получилось вообще странно $E(Y_n^4) = 0$. Для этого вычислил $(X - \lambda n)^4$ и воспользовался свойствами мат. ожидания.

[Henrylee]

Optimizer of control писал(а):

Для 4-й степени получилось вообще странно $E(Y_n^4) = 0$. Для этого вычислил $(X - \lambda n)^4$ и воспользовался свойствами мат. ожидания.

Нулю не может быть равно никак. Приведите вычисления.
PS 4-й момент легче по-моему считать, чем 3-й от модуля, так что остановимся на нем.

[Optimizer of control]

Пусть
$a = X, b = \lambda n. (a-b)^4 = a^4-4a^3b-4ab^3+6(ab)^2 +b^4. Ea^k = (\lambda n)^k, Eb^k = b^k, k = 1,2,3,4. E(a-b)^4 = (\lambda n)^4 - 4(\lambda n)^4 - 4(\lambda n)^4+6(\lambda n)^4 + (\lambda n)^4 = 0.$.

[RIP]

Optimizer of control писал(а):

$Ea^k = (\lambda n)^k$.

Вы уверены?

[Optimizer of control]

Не уверен.

Добавлено спустя 16 минут 4 секунды:

У меня пока что нет идей как просуммировать ряд $e^{-\lambda}\sum_{m=0}^{\infty} m^k\frac{\lambda^m}{m!}$