Не понимаю объяснение потенциальной энергии заряда в поле

[tohaf]

Непонятно, почему получается минус? Откуда он?
$W = -q\vec{E}\vec{r}$
Что такое $\vec{r_1}, \vec{r_2}, \Delta\vec{r} $ - вполне понятно. Что вообще такое $\vec{r}$ без индексов ?
Ну и дальше непонятно, почему $W=-qEx$, почему с минусом? Потому что расстояние не от бесконечности берется, а от оси координат, т.е. от нуля?

[Metford]

Во-первых, в тексте идёт ссылка на некую формулу (1.17.1). Судя по всему, речь идёт об известной теореме, утверждающей, что работа консервативной силы равна убыли соответствующей потенциальной энергии.
Во-вторых, Вам известна связь силы с потенциальной энергией - которая ещё в механике фигурирует?

Наконец,

tohaf в сообщении #1185794 писал(а):

Что вообще такое $\vec{r}$ без индексов ?

А вот когда для энергии в поле тяжести пишут $mgh$, то не смущает, что $h$ просто без всяких индексов используется?

[Erleker]

$r$ - это радиус-вектор, вектор от начала коордианат.1 и 2 стоят, имея ввиду, что рассматривают начальное и конечное положение, а без индексов - что это вообще энергия заряда для любого местоположения.
Вроде же все подробно расписано в приведенном вами учебнике и там минус получается, сравнивая 1.18.1 и 1.17.1.
Вообще, чобы лучше понять, проведите для себя аналогию: заряд в однородном электрическом поле - тоже самое, что и масса в однородном гравитационном.
Потенциальная энергия в однородном гравитационном поле (как соответственно и вообще в любом поле, где на рассматриваемое тело действует некотороя помтоянная сила) как вы должны знать, выбирается с точность до константы, то есть можно выбрать произвольную систему координат и сделать 0 в ее начале, тогда энергия будет даваться $Fx$ - сила тяжести на расстояние от плоскости ( по направлению "вверх", "против силы") , в которой лежит центр , и которая перпендикулярна $F$ - до тела.Если написать это в общем виде через вектора, то получите, что энергия равна скалярному произведению радиус-вектора на вектор силы со знаком минус.
Почему так?Ну, смотрите , скалярное произведение - это модуль одного вектора на другой на косинус угла между ними.Модуль вектора $r$ на косинус есть $-x$. Минус появился, поскольку косинус у нас того угла, который "между стрелочками", а он тупой ( нарисуйте рисунок, поймете).Вот и получается.
Выражая же вектор силы через заряд ( он влияет на направление силы(знак)) и напряженность, получите 1.18.2
Минус же перед $x$ в 1.18.3 стоит, поскольку $x$ Выбран по направлению напряженности, а не против.То есть по направлению силы, если заряд положительный и тогда минус и должен быть.А если заряд отрицательный, то икс против силы и тогда выражение, как и должно быть, без минусов ( минус у заряда и перед ввражением взаимоуничтожаются).

[tohaf]

В общем. Надолго же я забил на эту тему, потому что не мог понять.
Открыл учебник Яковлева.


У него, если сравнивать с Мякишевым, как бы пропущены подробности про векторы и сразу дан упрощенный итоговый ответ в случае совпадения оси Х с напряженностью.
У Мякишева написано просто: "проанализируем две формулы и увидим, что". У Яковлева конкретно показано, что хитрым способом мы выносим минус за скобку и получаем $A=-(-qEx_2-(-qEx_1))$ . Мякишев, видимо считает, что его читатели достаточно умны для такого.
После этого получается, что ответ на мой вопрос "откуда появился минус?" очень прост - потому что направление оси Х совпадает с напряженностью и потому, что за точку с нулевой потенциальной энергией выбрана точка (0,0,0) (это если читать Яковлева).
А в учебнике за 10-11 у Мякишева за нулевую точку берётся именно начало координат (ведь мы же оперируем понятием радиус вектора) и получается то же самое.
У Мякишева в учебнике за 10 класс потенциальная энергия в однрд поле приводилась на примере поля между пластинами конденсатора, где одна пластина принималась за точку с нулевым потенциалом. По сути, как если бы эта пластина была в точке х=0. Это дурацкое упрощение въелось в память и давало диссонанс "как так, потенциальная энергия получается меньше нуля".
Просто больше нуля она будет в том случае, если Х будет меньше нуля. И тогда, если поле будет толкать +заряд вправо, то относительно (0,0,0) энергия этого заряда будет сначала больше нуля, потом уменьшаться, потом станет нулевой, потом станет отрицательной относительно именно конкретно (0,0,0).
Возвращаясь к векторной форме у Мякишева, теперь становится понятно, как и почему из $A=-(-qE\vec{r_2}-(-qE\vec{r_1}))$получилось $W_p=-q\vec{E}\vec{r}$
По сути, получается что если сориентировать поле параллельно плоскости ХОУ, то получится, что заряды находящиеся в областях 1 и 4 будут иметь отрицательную потенциальную энергию, т.к. угол между радиус-вектором и напряженностью будет меньше 90 градусов, тогда косинус будет больше нуля и всё это на минус даст отрицательную энергию.

В областях 2 и 3 угол будет тупым, больше 90 градусов, это даст косинус меньше нуля и на минус всё это даст положительную энергию.
Иными словами, если мы так удачно выберем расположение осей относительно однородного поля, то пробные заряды будут обладать потенциальной энергией больше нуля "за" плоскостью ZOY и отрицательной "после" плоскости ZOY. Да и даже если не выберем, если использовать векторы - то вообще без разницы, как там располагаются оси координат относительно поля. Скалярное произведение во всём "поможет" найти правильное значение. Просто тогда граница "нулевого уровня" будет из себя представлять плоскость, перпендикулярную вектору напряженности и проходящую через начало координат.

Вроде всё понятно, но дальше снова завал.
Вопрос а что будет, если пробный заряд будет находиться НА плоскости ZOY ? Ведь тогда угол между ним и вектором напряженности в данной точке будет равен 90 градусам, что в итоге даст 0. Например, если координаты радиус вектора будут (0, 0, 4). Т.е. вектор лежит на оси OZ, в плоскости ZOY.

[Metford]

tohaf в сообщении #1217889 писал(а):

Вопрос а что будет, если пробный заряд будет находиться НА плоскости ZOY ? Ведь тогда угол между ним и вектором напряженности в данной точке будет равен 90 градусам, что в итоге даст 0.

Встречный вопрос: ну и что? Вас смущает, что потенциальная энергия может обратиться в нуль? Вы помните, что потенциальная энергия всегда определена с точностью до константы?

[tohaf]

Metford в сообщении #1217892 писал(а):

tohaf в сообщении #1217889 писал(а):

Вопрос а что будет, если пробный заряд будет находиться НА плоскости ZOY ? Ведь тогда угол между ним и вектором напряженности в данной точке будет равен 90 градусам, что в итоге даст 0.

Встречный вопрос: ну и что? Вас смущает, что потенциальная энергия может обратиться в нуль? Вы помните, что потенциальная энергия всегда определена с точностью до константы?

Нет, конечно не смущает, теперь всё еще более понятно, спасибо)
Мне просто не хватало изображений в учебниках, было трудно представить как бы модель в голове, которую можно повертеть, потыкать разные векторы в разные точки.
Спасибо!

[Metford]

Я ещё заодно предостерегу Вас от ошибки, которая иногда встречается. Равенство нулю потенциальной энергии в некоторой точке вовсе не означает, что в этой точке на заряд не действует сила. Сила определяется производной, а из равенства нулю функции не следует равенство нулю её производной.

[tohaf]

А можно еще такой момент, правильно ли я понял..
В поле точечного положительного заряда $Q$ положительный пробник $q_пр$ обладает тем большей потенциальной энергией, чем ближе он находится к точечному заряду (т.к. на бесконечности мы выбираем нулевую точку энергии).
А вот в поле отрицательного заряда непонятно. У нас нулевая точка отсчета меняется или это всё та же бесконечность?
Если $ A = \int\limits_{x_1}^{x_2} F(x)dx = \int\limits_{x_1}^{x_2} k\frac{Qq_пр}{x^2}dx = kQq(\frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2})$
Тогда, если пробник перемещается из $x_1=2$ в $x_2=1$ (то есть движение идет по направлению силовых линий), то минус на минус даст плюс. Работа поля будет больше нуля, следовательно, это поле работало на уменьшение потенциальной энергии пробника.
Если за ноль энергии выбрана бесконечность, то энергия пробника на расстоянии $x$ от заряда равна $ W_p= kQq\frac{1}{x}$ и эта энергия меньше нуля.
$x = 2 , W_p= kQq\frac{1}{2} $
$x = 1 , W_p= kQq\frac{1}{1} $
Тогда в абсолютных значениях (т.е. с учетом знака минус) всё получается логично:
$ W_1 > W_2 $
Всё верно?

[Pphantom]

Да, все правильно.

[Metford]

tohaf
Я всё-таки не промолчу по поводу Вашего обращения с терминами. Физики, конечно, не являют образец высокохудожественной речи, у них есть жаргон - но не нужно пытаться обогатить жаргон ещё на стадии изучения "Пробник" - это что-то парфюмерное. Да и "нулевая точка энергии" - тоже далеко не самое удачное выражение. Не экономьте на таких мелочах, некрасиво. Не обижайтесь только, пожалуйста.

Теперь по делу. Чем Вам не нравится отрицательный заряд? В конце концов потенциал, потенциальная энергия в этом контексте вводятся, чтобы описать взаимодействие зарядов. Вот Вы в начале рассуждений оговорились, что пробный заряд положителен - и находится он в поле положительного заряда. Ну, они отталкиваются (тем сильнее, чем ближе находятся). Будет пробный заряд отрицательный - будут притягиваться. А унесёте пробный заряд на бесконечность - не будут взаимодействовать. Всё это вещи понятные, а при формализации один раз договариваются, что на бесконечности по возможности энергию пробного заряда полагают нулевой. Договорённость нужна, потому что притяжение или отталкивание будет - определяется знаком проекции силы. А сила - минус градиент потенциальной энергии, следовательно, энергия определена с точностью до постоянного слагаемого. Т.е. в принципе, ничто не мешало бы сказать, что энергия на бесконечности может быть какой угодно. Но так ведь каждый возьмёт да и выберет эту энергию на своё усмотрение. Для сил-то ладно - не скажется, но в энергиях возникнет дикий разнобой. Поэтому и говорят: раз энергия эта характеризует взаимодействие, а бесконечно далеко удалённые друг от друга заряды не взаимодействуют, то пусть энергия на бесконечности нулевая будет. После этого по совместительству оказывается, что становится проще определять: притягиваются или отталкиваются заряды. А дальше главную роль на себя берёт расстояние между зарядами. Если оно маленькое, то заряды взаимодействуют с большой по величине силой. Знак энергии покажет: притяжение это будет или отталкивание.

А насчёт работы есть общая теорема, что работа консервативных сил равна убыли соответствующей потенциальной энергии. Вы к чему-то такому и пришли.

Да, и напоследок. Вот это:

tohaf в сообщении #1225543 писал(а):

$x_1=2$ в $x_2=1$

тоже нехорошая запись. Если Вам было нужно взять два расстояния, одно из которых вдвое больше другого, то лучше бы положили $x_1=a$, $x_2=2a$, где $a$ - некоторая длина. Размерная величина должна быть размерной.

[iifat]

tohaf в сообщении #1225543 писал(а):

в абсолютных значениях (т.е. с учетом знака минус)

Вообще-то, абсолютные значения — это без учёта знака.

tohaf в сообщении #1225543 писал(а):

У нас нулевая точка отсчета меняется или это всё та же бесконечность?

Ещё раз: нулевую точку вы можете выбрать где угодно. Вот для гравитации, к примеру: если мы рассматриваем космический способ — аналогично, за нуль стоит принять бесконечно удалённые точки. А в школьной физике — поверхность Земли. А если в задаче фигурирует яма — вовсе не обязательно брать за нулевую точку дно её. Считайте от поверхности. Это как раз и означает «энергия (кстати говоря, не только потенциальная) определена с точностью до константы».