Движение в метрике Керра

[KVV]

Представим наблюдателя, движущегося по произвольной геодезической в метрике Керра. Свяжем с ним reference frame с тремя ортогональными векторами $\lbrace \mathbf{e_x},\mathbf{e_y},\mathbf{e_z} \rbrace$, образующими правую прямоугольную систему координат. Зададим направление вектора $\mathbf{e_y}$ таким образом, чтобы он совпадал с направлением движения наблюдателя $\mathbf{e_y} \equiv \mathbf{n}$. Вопрос в том, как вычислить направление вектора $\mathbf{n}$ относительно сферического базиса из трех векторов $\lbrace \mathbf{e_{\hat{r}}},\mathbf{e_{\hat{\theta}}},\mathbf{e_{\hat{\phi}}} \rbrace$, которые направлены вдоль координатных линий Бойера-Линдквиста в точке текущего положения наблюдателя? Возможно здесь нужно использовать собственную скорость, определенную в (88.10) ЛЛ2?

[Erleker]

Я наверное не совсем еще компетентен в этом, но все же не понял вопрос.В чем проблема-то?Вычислить направление скорости наблюдателя в координатах Бойера-Линдквиста?

[KVV]

Собственную скорость вычислить не проблема. Вопрос в том, будет ли именно эта величина совпадать с направлением движения наблюдателя относительно координатных осей в собственном базисе наблюдателя? Я почти уверен, что будет. Но только почти.

[Erleker]

А какая разница - собственная или нет ? Есть направление смещения $dx^a$.

KVV в сообщении #1185682 писал(а):

с направлением движения наблюдателя относительно координатных осей в собственном базисе наблюдателя?

Это как?

[KVV]

Erleker в сообщении #1185683 писал(а):

Это как?

В reference frame, связанном с самим наблюдателем.

Erleker в сообщении #1185683 писал(а):

А какая разница - собственная или нет ?

Большая. Собственная скорость, координантная скорость, пространственные компоненты 4-скорости и т.д. - это все различные величины. Вот какая именно из этих величин задает направление движения наблюдателя в reference frame, связанном с ним самим, мне не очевидно. Потому и спрашиваю.

[Erleker]

Направление движения - оно одно.
Какая разница, делить ли $dx^a$ на $ds$ , на $\sqrt{g_{00}}dx^0+g_{0a}dx^a/\sqrt{g_{00}}$ или на $dx^0$?
Все эти вектора направленны одинаково, но модуль разный.
Есть еще скорость по местным прямоугольным координатам, там естественно вектор другой.
Но направлений движения не может быть несколько.

[KVV]

Erleker в сообщении #1185689 писал(а):

Направление движения - оно одно.

Одно, конечно. Но не мешайте в одну кучу собственную скорость, которая $\sim\sqrt{dx_\alpha dx^\alpha}$ и координатную, которая $\sim dx^\alpha$.

[Erleker]

KVV в сообщении #1185697 писал(а):

Одно, конечно.

Тогда в чем проблема?

KVV в сообщении #1185697 писал(а):

Но не мешайте в одну кучу собственную скорость, которая $\sim\sqrt{dx_\alpha dx^\alpha}$ и координатную, которая $\sim dx^\alpha$.

Я не понимаю, что вы имеете ввиду.
Под "координатной" 3-х мерной скоростью обычно подразумевается $u^a=dx^a/dx^0$
Под "собственной" ( как в ЛЛ) - $\frac{u^a}{(\sqrt{g_{00}}+g_{0a}u^a/\sqrt{g_{00}})}$
Еще вообще "собственной"("физической") называют $v=dl/dT=(-g_{ab}+g_{0a}g_{0b}/g_{00}dx^adx^b)/(\sqrt{g_{00}}dx^0+g_{0a}dx^a/\sqrt{g_{00}})$, ее соответственно можно выразить в локально "прямоугольной" СК $(t,x,y,z)$.

[KVV]

Короче, вы тоже считаете, что направление задает вектор собственной (физической) скорости? Отлично. Тогда такой вопрос - что будет с этим вектором в эргосфере?

[Erleker]

Напрвление задают все скорости, какие вы только придумаете.
Мне непонятно, в чем конкретно вы сомневались(етесь).Возможно, у вас возникла проблема при решении более серьезной задачи/ размышлениях.Тогда изложите все полностью.
По поводу Эргосферы:
Если выбранная СК "нормированна", то есть в данной точке может быть осуществлена реальными частицами, то относительно них всегда можно ввести " физическю" скорость, по синхронизированным на них часам.Это всегда так и в эргосфере это не отменяется, локально ничего особенного там нет.
Если же вы спрашиваете про скорость в жестких координатах, то она естественно теряет физический смысл, но может использована для ЗСЭ ( там правда уже это не энергия :)), об этом в ЛЛ где-то было.

[KVV]

Спасибо, но это все мне известно. : )
Вы лучше подскажите, какой вектор будет указывать направление движения наблюдателя в эргосфере относительно координатных осей, если вектор собственной скорости там теряет смысл? Ведь очевидно, что какой-то должен быть - движение ведь есть, локально никаких проблем плюс координаты Бойера-Линдквиста покрывают эту область вплоть до горизонта. : )

[Erleker]

Направление движения в 3-х мерном пространстве жестких координат в эргосфере?Так такого для данных координат не существует, когда они не нормированны( нельзя разделить на время и прострнатсво).Да и не нужно, можно просто пользовать 4-мя координатами и ничего "фихического" не прижумывать.
А если хочется, то выбрать другую СК.

[SergeyGubanov]

KVV, пусть $u^{\mu}$ -- четырёхскорость некоторого континуума наблюдателей:

$$ \quad g_{\mu \nu} u^{\mu} u^{\nu} = 1 \eqno(1) $$

Векторное поле $u^{\mu}$ можно взять в качестве времени-подобного орта контравариантной тетрады $e_{(0)}^{\mu} = u^{\mu}$. Три оставшихся орта контравариантной тетрады $e_{(1)}^{\mu}$, $e_{(2)}^{\mu}$, $e_{(3)}^{\mu}$ можно выбрать совершенно произвольно лишь бы только удовлетворялись следующие соотношения:

$$ g_{\mu \nu} e_{(a)}^{\mu} e_{(b)}^{\nu} = \eta_{(a) (b)}, \quad \eta^{(a)(b)} e_{(a)}^{\mu} e_{(b)}^{\nu} = g^{\mu \nu} \eqno(2) $$

Ковариантная тетрада $e^{(a)}_{\mu}$ сопряжена с контравариантной $e_{(a)}^{\mu}$:

$$ e^{(a)}_{\mu} e_{(a)}^{\nu} = \delta^{\nu}_{\mu}, \quad e^{(a)}_{\mu} e_{(b)}^{\mu} = \delta^{(a)}_{(b)}. \eqno(3) $$

Тетрада задаёт систему отсчёта. Пусть теперь некое тело движется по некоторой времени-подобной кривой $x^{\mu}(s)$, тогда компоненты трёхмерной скорости этого тела $v^{(1)}$, $v^{(2)}$, $v^{(3)}$ относительно системы отсчёта $e^{(a)}_{\mu}$ таковы:

$$v^{(1)} = \frac{ e^{(1)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{ds} }{ e^{(0)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{ds} }, \quad v^{(2)} = \frac{ e^{(2)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{ds} }{ e^{(0)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{ds} }, \quad v^{(3)} = \frac{ e^{(3)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{ds} }{ e^{(0)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{ds} }, \eqno(4)$$

$$ |v| = \sqrt{ \left( v^{(1)} \right)^2 + \left( v^{(2)} \right)^2 + \left( v^{(3)} \right)^2 } = \sqrt{1 - \frac{g_{\mu \nu} \frac{dx^{\mu}}{ds} \frac{dx^{\nu}}{ds} }{ \left( e^{(0)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{ds} \right)^2 } } \eqno(5) $$

Искомый Вами единичный трёхмерный вектор $\mathbf{n}$ в системе отсчёта $e^{(a)}_{\mu}$ имеет следующие компоненты:

$$ \mathbf{n} = \frac{1}{|v|} \left\{ v^{(1)}, v^{(2)}, v^{(3)} \right\} \eqno(6) $$

Два других единичных трёхмерных вектора $\mathbf{e_x}$ и $\mathbf{e_z}$ можно выбрать совершенно произвольно лишь бы они были (евклидово) ортогональны друг к другу и к $\mathbf{n}$.

[Erleker]

SergeyGubanov Вы, в силу своего высокого уровня, очень часто (как я заметил), используете "тетрады".Лично я ( не знаю, как ТC), о них не имею практически никаких представлений, кроме одного параграфа из ЛЛ . Зачем, позвольте, они понадобились сейчас?
Насколько я понимаю, вы просто построили метрический тензор какой-то нормированной СК по тетрадам, далее просто записали скорость опять же через тетрады (для локального времени этой СО $dT$ и пространства (выразив 4 галилеевы координаты с заданным направлением для временной через тетрады)) и получили квадрат для скорости как $dl^2/dT^2=(c^2dT^2-ds^2)/dT^2$ (5), так?

Тогда вопрос: в чем смысл оформлять это таким сложным образом, если $(6)$ и так очевидно и определение скорости известно?

Можно же перейти к нужно направленной локальной прямоугольной СК без тетрад.

[SergeyGubanov]

Erleker, Вы говорите про системы отсчёта в которых бесконечно малый интервал времени является полным дифференциалом:

$$ \tau = dT, \qquad dT \equiv \frac{\partial T}{\partial x^{\mu}} dx^{\mu}. $$

Однако, существуют (и их подавляющее большинство) системы отсчёта, в которых бесконечно малый интервал времени полным дифференциалом не является, а является дифференциальной формой:

$$ \tau = e^{(0)}_{\mu} dx^{\mu}. $$

При этом

$$ e^{(0)}_{\mu} \ne \frac{\partial T}{\partial x^{\mu}}, \qquad \frac{\partial e^{(0)}_{\mu}}{\partial x^{\nu}} - \frac{\partial e^{(0)}_{\nu}}{\partial x^{\mu}} \ne 0. $$