СТО, динамика

[Stensen]

Всем доброго времени суток. Уважаемые, помогите разобраться. В релятивисткой динамике 2-й закон Ньютона записывается:
для прямолинейного движения: $F= \frac{m}{(1-\frac{v^2}{c^2})^\frac{3}{2}} a$ , а для криволинейного: $F= \frac{m}{(1-\frac{v^2}{c^2})^\frac{1}{2}} a$ .
Коэффициент пропорциональности перед ускорением $a$ в правых частях трактуется как релятивисткая масса. Можно ли на основании этого утверждать, что масса тела зависит от скорости его перемещения?

[venco]

Прочитайте эту очень полезную статью:

rockclimber в сообщении #1168213 писал(а):

[*]Масса. Как масса зависит от скорости? Отвечает академик Л. Б. Окунь (спойлер: никак не зависит)

[Erleker]

Надо просто дать определение понятию "масса".С принятым сейчас - нет, она от скорости не зависит.

И в общем случае для криволинейного движения:
${\bf F}=\frac{m{\bfa}}{(1-v^2/c^2)^{1/2}}+\frac{m({\bf v}/c^2)({\bf v}{\bf a})}{(1-v^2/c^2)^{3/2}}$

[DimaM]

Stensen в сообщении #1185492 писал(а):

Коэффициент пропорциональности перед ускорением $a$ в правых частях трактуется как релятивисткая масса.

Давно уже не трактуется.
Чтобы не было ошибок, лучше всего писать

$$\dfrac{d{\bf p}}{dt}={\bf F}\quad\mbox{где}\quad{\bf p}=\dfrac{m{\bf v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$

[Munin]

Stensen в сообщении #1185492 писал(а):

В релятивисткой динамике 2-й закон Ньютона записывается:
для прямолинейного движения: $F= \frac{m}{(1-\frac{v^2}{c^2})^\frac{3}{2}} a$ , а для криволинейного: $F= \frac{m}{(1-\frac{v^2}{c^2})^\frac{1}{2}} a$ .

Это просто неправда. То, что вы записали, верно для продольной силы и для поперечной силы. Но из криволинейности движения вовсе не следует, что сила поперечна!

Запомнив неправильную формулировку, вы потом наделаете много ошибок. Запоминайте правильные!

[Erleker]

И кстати, вообще, надо бы ,как мне кажется, еще через лагранжиан дать определение самой силе $F$.Ведь иначе, определяя ее как производную от импульса, это выражение никакого смысла, аналогичного 2-му Закону Ньютона нести не будет.

[Metford]

Erleker в сообщении #1185540 писал(а):

И кстати, вообще, надо бы ,как мне кажется, еще через лагранжиан дать определение самой силе $F$.Ведь иначе, определяя ее как производную от импульса, это выражение никакого смысла, аналогичного 2-му Закону Ньютона нести не будет.

Насколько мне помнится, обычно вводится 4-сила как $\frac{dp^k}{ds}$. Вроде как с 4-скоростью. Не слишком удобная вещь.

[Erleker]

Metford в сообщении #1185542 писал(а):

Насколько мне помнится, обычно вводится 4-сила как $\frac{dp^k}{ds}$. Вроде как с 4-скоростью. Не слишком удобная вещь.

Запись "2 закона Ньютона" в 3-х - 4-х мерном виде - по сути одно и тоже.
Я говорил про то,что силе надо дать определение, как это делается в классической механике, то есть вроде $F_{i}=\dfrac{\partial W}{\partial x^i}$
Определять ее через "2 закона Ньютона" как $F_{i}=dp_{i}/d\tau$- значит утрачивать его смысл как уравнения движения, а использовать просто в качестве определения $F$.

[Metford]

Erleker в сообщении #1185543 писал(а):

Я говорил про то,что силе надо дать определение, как это делается в классической механике, то есть вроде $F_{i}=\dfrac{\partial W}{\partial x^i}$

Что-то я подобного в СТО не припомню... Да и вряд ли такое нужно и возможно: выделить из энергии в СТО часть вроде потенциальной энергии не получится (или это будет что-то совсем искусственное). Из функции Лагранжа прекрасно выделяется импульс - а дальше по написанному мной выше выражению нормально определяется сила.

Вообще, нечасто она используется в контексте теории относительности.

(Оффтоп)

Вы минус пропустили...

[Munin]

Erleker в сообщении #1185540 писал(а):

И кстати, вообще, надо бы ,как мне кажется, еще через лагранжиан дать определение самой силе $F$.Ведь иначе, определяя ее как производную от импульса, это выражение никакого смысла, аналогичного 2-му Закону Ньютона нести не будет.

Как раз будет. И второй закон Ньютона изначально самим Ньютоном и был сформулирован как $\dfrac{d\mathbf{p}}{dt}=\mathbf{F}.$

Лагранжева формулировка - штука приятная, но можно оставаться и в рамках ньютоновой.

Metford в сообщении #1185542 писал(а):

Насколько мне помнится, обычно вводится 4-сила как $\frac{dp^k}{ds}$. Вроде как с 4-скоростью. Не слишком удобная вещь.

Ну как это "не слишком удобная"! С ней уравнения электродинамики записываются 4-ковариантно! А вот как она в задачах удобна: post1185204.html#p1185204

Erleker в сообщении #1185543 писал(а):

Запись "2 закона Ньютона" в 3-х - 4-х мерном виде - по сути одно и тоже.

Во-первых, в 4-мерном виде информации больше (добавлен закон мощности), а во-вторых, 4-мерный вид ещё и имеет симметрию, ранее не обнаруженную.

Erleker в сообщении #1185543 писал(а):

Я говорил про то,что силе надо дать определение, как это делается в классической механике, то есть вроде $F_{i}=\dfrac{\partial W}{\partial x^i}$

Я не знаю, что вы тут имеете в виду, но таких определений в СТО есть. Но спорить, что считать за определение, а что за уравнение, - это схоластика.

[Metford]

Munin в сообщении #1185548 писал(а):

Ну как это "не слишком удобная"! С ней уравнения электродинамики записываются 4-ковариантно!

С этим не поспоришь: для того и вводится. Но не всё, что пишется в четырёхмерном виде, всегда именно удобно в обращении. Поправьте меня, но во всём ЛЛ-2 4-сила используется только там, где без неё просто не обойтись, потому что там считается именно сила (при обсуждении радиационного трения).

Munin в сообщении #1185548 писал(а):

А вот как она в задачах удобна: post1185204.html#p1185204

Я видел, как Вы решали ту задачу. Я могу назвать это решение изящным, но удобным и простым было скорее следующее решение.

По-моему это дело вкуса - считать её удобной или нет. Хотя может я и ошибаюсь...

[Erleker]

Рассмотрим Лагранжиан:

$$-\delta \int\limits_{1}^{2}mc^2dT+W(x^i)dT=0$$

Удобно пользоваться в качестве "временной (пятой)" координаты собственным временем (варьируя геодезическую около самой себя), получая:

$$ -\int\limits_{1}^{2}(m\delta\sqrt{g_{ik}\dfrac{dx^idx^k}{dT^2}}+\delta W)dT=0$$

Ввиду того, что $u_{k}u^k=c^2$ около геодезической:

$$ -\int\limits_{1}^{2}(m\delta \dfrac{u_{k}u^k}{2}+\delta W)dT=0$$

В пространстве СТО:
$\frac{\partial (c^2(dt/dT)^2-(d(x,y,z)/dT)^2}{2 \partial (d(t,x,y,z)/dT) }=-\frac{\partial W}{\partial (t,x,y,z,)}$
Откуда:
$du_{i}/dT=\frac{\partial W}{\partial x^i}$
И по определению назовем $F_{i}=\frac{\partial W}{\partial x^i}$

[Munin]

Metford
По-моему, просто всё дело в опыте работы с 4-величинами. Я их люблю давно, вот они и кажутся мне естественными.

-- 17.01.2017 23:28:32 --

Erleker в сообщении #1185553 писал(а):

Рассмотрим Лагранжиан:

$$-\delta \int\limits_{1}^{2}mc^2dT+W(x^a)dT=0$$

То есть, частица движется в скалярном поле. Хорошо, а если поле не скалярное? Векторное, тензорное и так далее? Что вы будете называть силой "по определению"?

В том или ином виде вы всё равно придёте к теореме Нётер, ТЭИ, и определению через импульс.

[Erleker]

*А, не то ляпнул.Сейчас.

[Metford]

Munin
Вы думаете, что я мало имею дело с 4-величинами? Я 4-силу "не уважаю", скажем так. А другие величины - так вполне. Но ладно, обсуждение вкусов началось.

Вот в чём с Вами точно соглашусь, так это насчёт схоластики.