система уравнений с параметром

[Rony]

Найдите все значения а, при каждом из которых система
$ \left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x^2+y^2}-\sqrt{(x-a)^2+(y-a^2)^2}=|a|\sqrt{1+a^2},\\ (x-10)^2+y^2=36, \end{array} \right. $
имеет решение.

Из первого уравнения: $M(x;y), A(|a|;a^2), O(0;0)
$M\in l
$A, O\in l. При этом располагаются М-А-О. Тут у меня есть некоторые сомнения по поводу координат точки А... $ A(a;a^2)
или всё-таки с модулем?
прямая l имеет вид: y=|a|x не знаю, нужен ли модуль...

Далее можно подставить выраженное y во второе уравнение и найти ограничения относительно a для дискриминанта.. $a\in [-0, 75; 075]/ Но, видимо, а должно быть не меньше нуля (если нет модуля в уравнении прямой)... но модуль, мне кажется, есть

У меня вопрос относительно координат точки A (с модулем или без)? что-то я запуталась..

[незваный гость]

Rony писал(а):

Из первого уравнения:

Из первого уравнения $A(a,a^2)$. Соответственно, и остальные рассуждения меняются. И ещё: я не очень внимательно смотрел, поэтому не понял, в каком порядке должны распологаться точки $M$, $A$, $O$.

[Rony]

Точки располагаются так: M - A - O, чтобы МО=МА+АО.
тогда y=ax, поэтому из второго ур-я (ограничения на D): $a\in [-0,75;0, 75]
Но правильный ответ $a\in [0;0, 75]. Почему?

[RIP]

Rony писал(а):

Точки располагаются так: M - A - O, чтобы МО=МА+АО.
тогда y=ax, поэтому из второго ур-я (ограничения на D): $a\in [-0,75;0, 75]
Но правильный ответ $a\in [0;0, 75]. Почему?

Условие $y=ax$ означает, что точка $M$ лежит на прямой $OA$ (при $a\ne0$), а надо, чтобы $A$ лежала на отрезке $OM$. Чуете разницу?
P.S. Задачу проще решать графически.

[ewert]

Не знаю, как вы всё это дело решали. Но дело в том, что уравнение
$\sqrt{x^2+y^2}-\sqrt{(x-a)^2+(y-a^2)^2}=|a|\sqrt{1+a^2}$
определяет гиперболу с фокусами в точках $A(a;a^2)$ и $O(0;0)$. Причём не всю гиперболу, а только ту веточку, которая окружает фокус $A(a;a^2)$. Это в принципе. А фактически координаты этой точки сами по себе удовлетворяют уравнению. Т.е. гипербола вырождается, и фактически решением уравнения будет луч, проходящий по прямой $y=ax$ от точки $\displaystyle B\left({a\over2};{a^2\over2}\right)$ до бесконечности (в сторону, противоположную началу координат).

Так вот, положительным $a$ отвечает луч, идущий вверх и вправо. При отрицательных же луч идёт вверх и влево, и пересечь окружность, расположенную справа, никак не сможет.

[T-Mac]

Мне кажется здесь нужно школьное решение

[ewert]

T-Mac писал(а):

Мне кажется здесь нужно школьное решение

Вопрос ведь был: откуда асимметрия в решении? Я и попытался на пальцах объяснить, почему асимметрия должна быть.

А по-школьному -- ну надо, наверное, тупо пару раз возвести в квадрат. Причём лучше совсем тупо -- не перенося второй корень в правую часть. Тогда на выходе получится квадрат линейного уравнения. Только надо при возведении в квадрат аккуратно отслеживать знаки (из этого луч и получается), а это довольно противно.

[RIP]

ewert писал(а):

А по-школьному -- ну надо, наверное, тупо пару раз возвести в квадрат.

Ничего там не надо возводить в квадрат. Школьный способ — неравенство треугольника — уже был написан. Кстати, а при чём здесь точка $B$?

[ewert]

RIP писал(а):

ewert писал(а):

А по-школьному -- ну надо, наверное, тупо пару раз возвести в квадрат.

Ничего там не надо возводить в квадрат. Школьный способ — неравенство треугольника — уже был написан. Кстати, а при чём здесь точка $B$?

Да, с неравенством треугольника лучше. А точка $B$ очень даже при чём; это -- начало луча. Вот как Вы думаете, почему во втором уравнении числа такие большие? Уменьшите-ка окружность раз эдак в двадцать (кажется, этого достаточно), заменив 100 на 0,25 и 36 на 0,09. Как изменится решение?

[RIP]

ewert писал(а):

А точка $B$ очень даже при чём; это -- начало луча.

Не согласен. Начало луча — это точка $A$.

[ewert]

да, Вы правы. Я слишком легкомысленно предельный переход сделал.

[Rony]

Теперь понятно, спасибо большое!