Повороты

[mihiv]

dovlato в сообщении #1185084 писал(а):

Можно доказать, что если разгон происходит с максимальным ускорением модуля скорости, то:
1. Вектор скорости вращается с постоянной угловой скоростью.
2. Во время разгона, и при дальнейшем скольжении траектории симметричны.

Судя по этому пояснению я неправильно понял условие задачи. Я рассматривал только фазу скольжения и считал, что $\alpha \approx \dfrac {x_m}{y_m}$, где $y_m$- длина траектории, а $x_m$- снос в направлении перпендикулярном траектории за счет силы Кориолиса.

[dovlato]

Строгости ради стоит оговориться, что центробежными силами тут пренебрегаем ($\sim\omega^2$).

[realeugene]

dovlato в сообщении #1185145 писал(а):

Строгости ради стоит оговориться, что центробежными силами тут пренебрегаем ($\sim\omega^2$).

Это некорректное приближение: центробежное и корриолисово ускорения будут сравнимы как показано в моём примере уже на расстоянии в пару десятков километров от географического полюса. За сутки можно проехать на попе одну-две сотни километров максимум, и эта одна-две сотня километров и дают длину окружности. Другое дело, что Земля всё-таки существенно неплоская, и центробежная сила должна в точности компенсироваться изменением гравитационного потенциала горизонтальной поверхности. Так что, изначально покоящееся в ИСО тело должно начать скатываться к центру ямы на полюсе.

[fred1996]

Тут фокус в том, что тело двигается. Мы измеряем не угол поворота тела, а угол поворота вектора его скорости.
Соласитесь, это разные вещи.

[dovlato]

realeugene в сообщении #1185135 писал(а):

fred1996 в сообщении #1185130 писал(а):

То есть угловая скорость вращения вектора скорости $\Omega$ всегда в 2 раза больше угловой скорости вращения Земли.

Пусть тело покоится в ИСО на расстоянии $r$ от полюса. Во вращающейся системе отсчёта это тело двигается по окружности радиуса $r$. Очевидно, что в этом примере $\omega=\Omega$. Работая во вращающейся системе отсчёта, вы потеряли центробежное ускорение.

Похоже, что так.

[mihiv]

fred1996 в сообщении #1185130 писал(а):

Сила Кориолиса всегда пропорциональна модулю скорости и перпендикулярна ей. Поэтому из уравнения $a=2\omega\times V$ получаем $dV=2\omega Vdt$
Или $\frac{dV}{V}=d\alpha=2\omega dt$
Или $\Omega=2\omega$

Нужно учитывать еще силу трения, т. е. уравнение имеет вид: $\dot v_x=2\omega v_y+\dfrac {F_x}m$, где $F_x$- проекция силы трения на ось $x$.

[dovlato]

mihiv, я специально и оговорил, что разгон происходит с максимальным ускорением модуля скорости. Это возможно только, если векторы ускорения и скорости в любой момент параллельны.
И следовательно, никаких дополнительных искривлений траектории за счёт силы тяги не происходит.

[mihiv]

Я имею в виду стадию скольжения, сила трения действует и в этом случае.

[dovlato]

mihiv в сообщении #1185278 писал(а):

Я имею в виду стадию скольжения, сила трения действует и в этом случае.

И на этапе оптимального разгона, и на этапе скольжения - силы трения направлены по касательной к траектории. Поэтому, по моему, должны быть симметричны обе траектории.

[realeugene]

dovlato в сообщении #1185226 писал(а):

Похоже, что так.

Из-за того, что неподвижное в ИСО тело начнёт скатываться к центру ямы на полюсе, и появится дополнительная угловая скорость поворота вектора скорости этого тела в системе отсчёте Земли. Не считал, но не сомневаюсь, что в результате вылезет двойка и в этом случае.

[mihiv]

Все же, мне кажется, учет силы трения меняет угол поворота скорости тела ( по сравнению с $\alpha =2\omega t)$. Будем считать, что все происходит вблизи полюса на стадии скольжения. Без учета силы трения из уравнения движения следует:$(v_x(0)=0, v_y(0)=V),v_x(t)=2\omega \int \limits _0^tv_ydt$,а поскольку всегда $v_y\geqslant 0$, то получается, что $v_x(t)>0$ для всех $t>0$, в то же время понятно, что из-за трения движение при некотором $t$ прекратится, следовательно, надо учитывать вклад силы трения: $\int \limits _0^t\dfrac {F_x}{m}dt.$

[fred1996]

dovlato в сообщении #1185226 писал(а):

realeugene в сообщении #1185135 писал(а):

Пусть тело покоится в ИСО на расстоянии $r$ от полюса. Во вращающейся системе отсчёта это тело двигается по окружности радиуса $r$. Очевидно, что в этом примере $\omega=\Omega$. Работая во вращающейся системе отсчёта, вы потеряли центробежное ускорение.

Похоже, что так.

Похоже что не совсем так.
Полюс - это особая точка сферы при обходе которой угол наращивается на $2\pi$ забесплатно. Хотя полярный угол при этом ни в какой момент не меняется.
Так что при обходе полюса возникает многолистность.
Плоская геометрия углов на сфере неприменима.
Интегрирование по бесконечно малым углам зависит от пути обхода
Если вы сделали один оборот по экватору, вы все время двигались прямо и скорость не меняла направление. Поменялся ли интегральный вектор скорости на полный оборот?

[dovlato]

mihiv, я не понял этих уравнений. Ведь траектория - криволинейная.
Для меня аксиома, что вызывать поворот может только поперечная составляющая всех сил. Но сила тяги - параллельна вектору скорости!
В противном случае было бы нарушено специально оговоренное условие, что ускорение модуля скорости - максимально.
Естественно, сила трения во время свободного скольжения тоже направлена по касательной к траектории.

[realeugene]

fred1996 в сообщении #1185450 писал(а):

Хотя полярный угол при этом ни в какой момент не меняется.

Именно поэтому данная задача осмысленна только для малой приполярной области, в которой влияние кривизны сферы мало и параллельный перенос вектора скорости из произвольной точки траектории в начало траектории, чтобы измерить угол его поворота, оказывается однозначным с точностью до малых поправок. Иначе, действительно, встанет вопрос о том, что же такое угол поворота траектории в условии задачи?

-- 17.01.2017, 17:29 --

dovlato в сообщении #1185460 писал(а):

В противном случае было бы нарушено специально оговоренное условие, что ускорение модуля скорости - максимально.

Вообще-то, оговорено было несколько иное условие: максимальность ускорения, а не ускорения модуля скорости (кстати, термин несколько нестандартен, как мне кажется).

[dovlato]

realeugene, если тело в данный момент неподвижно в ИСО, и трения нет, то:
Оно НЕ останется на той же широте! И, следовательно, не будет описывать окружность во вращающейся СО.
Оно, естественно, осталось бы на ней, будь оно неподвижно относительно вращающейся поверхности. Эта поверхность - НЕ сфера.
А тело, вначале неподвижное в ИСО, под действием сил гравитации начнёт скатываться в полюс.