2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 О сопряженных направлениях
Сообщение14.01.2017, 07:30 
Аватара пользователя


07/01/15
1244
Привет!

Пусть дана линия второго порядка:
$$a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0.$$

Матрица её квадратичной части:
$$P = \left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right).$$

Направления, $(\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)$ называются сопряженными относительно этой линии, если:

$$(\alpha_{1}, \beta_{1})\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} \alpha_{2} \\ \beta_{2} \end{array} \right) = 0.$$

Вот тут многие говорят, что векторы $\{\alpha_1, \beta_1\}$, $\{\alpha_2, \beta_2\}$ (если назвать их векторами) ортогональны относительно скалярного произведения, определенного формой $P.$

Но ведь форма $P$, строго говоря, не всегда определяет скалярное произведение, потому что она может и не быть положительно определенной. Она будет положительно определенной тогда и только тогда, когда $a_{11} > 0$ и $\det{P} > 0$. Ну, первое ладно, можно умножить линию на $-1$, но ведь знак определителя невозможно изменить никакими аффинными преобразованиями и умножательными константованиями!

А жаль, ведь понимать сопряженные направления, как своего рода ортогональные, очень удобно.

P. S. Я вижу только такой выход из ситуации: рассматривать не только положительно определенные формы, но и «отрицательно определенные". Но мне такой подход не нравится, потому что минус $-$ это убыток, регресс, паника; минус $-$ это свинья.

 Профиль  
                  
 
 Re: О сопряженных направлениях
Сообщение14.01.2017, 07:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
SomePupil в сообщении #1184502 писал(а):
Направления, $(\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)$ называются сопряженными относительно этой линии, если:

$$(\alpha_{1}, \beta_{1})\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} \alpha_{2} \\ \beta_{2} \end{array} \right).$$

Зря вы разволновались, ведь вы дали такое "клевое" "определение" сопряженных направлений, что ничего проверять не нужно, "убыток, регресс, паника" не придут, поскольку любые два направления у вас сопряжены! :D
Кроме того, физики любят определять "псевдоевклидовы" метрики, опираясь на знакопеременные билинейные формы, и у них от этого случается прибыток, прогресс, уверенность в завтрашнем дне, так что и здесь волноваться не нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: О сопряженных направлениях
Сообщение14.01.2017, 07:59 
Аватара пользователя


07/01/15
1244
Brukvalub в сообщении #1184503 писал(а):
любые два направления у вас сопряжены! :D

Действительно, "клево" получилось.
UPD. Исправил.

Brukvalub в сообщении #1184503 писал(а):
Кроме того, физики любят определять "псевдоевклидовы" метрики, опираясь на знакопеременные билинейные формы, и у них от этого случается прибыток, прогресс, уверенность в завтрашнем дне, так что и здесь волноваться не нужно.


Понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: О сопряженных направлениях
Сообщение14.01.2017, 16:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
SomePupil в сообщении #1184502 писал(а):
А жаль, ведь понимать сопряженные направления, как своего рода ортогональные, очень удобно.

Тут не надо бояться терминологии. Ну не скалярное это произведение в строгом смысле слова, и ладно.

А надо смотреть на суть дела.

По сути, вам надо рассмотреть несколько типов таких матриц, и для каждой из них понять, как будет вести себя "скалярное произведение" и ортогональность:
$$P_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad P_2=\begin{pmatrix}1&\hphantom{-}0\\0&-1\end{pmatrix},\qquad P_3=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\qquad P_4=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.$$ Все остальные получатся из них каким-то аффинным преобразованием, то есть, "растяжениями, сжатиями и перекосами".

Первый случай - это знакомое вам евклидово скалярное произведение. (Остальные называются псевдоевклидовыми.)

Второй случай - это "скалярное произведение в пространстве Минковского". С ним очень рекомендуется освоиться и поупражняться. Например, вот такие два вектора ортогональны: $(1,\tfrac{1}{2})$ и $(1,2)$ - а вот привычные, казалось бы, $(1,\tfrac{1}{2})$ и $(-1,2)$ - нет, не ортогональны. Векторы вида $(x,\pm x)$ ортогональны сами себе. Кроме них, все остальные ортогональные пары устроены так: плоскость делится на четыре квадранта, повёрнутых на 45°, и вектору из "горизонтального" квадранта ортогональны векторы из "вертикального" (образующие прямую), и наоборот. Но в "однотипном" квадранте не найдётся вектора, ортогонального данному.

Третий случай - это "скалярное произведение в пространстве Галилея". Оно подобно предыдущему, если представить себе "вертикальные" квадранты схлопнувшимися в бесконечно тонкие сектора - лучи. То есть, ровно вертикальные векторы вида $(0,y)$ ортогональны всем остальным - в том числе, и другим вертикальным. А два невертикальных вектора не ортогональны друг другу никогда.

И четвёрный случай - всё ортогонально всему. Он малоинтересен.

-- 14.01.2017 16:48:32 --

В многомерном случае немного интересней, но если вы рассмотрите варианты $\operatorname{diag}(1,1,0),$ $\operatorname{diag}(1,-1,0),$ $\operatorname{diag}(1,1,-1),$ $\operatorname{diag}(1,1,-1,-1),$ то сможете представить себе и все остальные по аналогии.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: lantza


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group