О сопряженных направлениях

[SomePupil]

Привет!

Пусть дана линия второго порядка:

$$a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0.$$

Матрица её квадратичной части:

$$P = \left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right).$$

Направления, $(\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)$ называются сопряженными относительно этой линии, если:

$$(\alpha_{1}, \beta_{1})\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \alpha_{2} \\ \beta_{2} \end{array} \right) = 0.$$

Вот тут многие говорят, что векторы $\{\alpha_1, \beta_1\}$, $\{\alpha_2, \beta_2\}$ (если назвать их векторами) ортогональны относительно скалярного произведения, определенного формой $P.$

Но ведь форма $P$, строго говоря, не всегда определяет скалярное произведение, потому что она может и не быть положительно определенной. Она будет положительно определенной тогда и только тогда, когда $a_{11} > 0$ и $\det{P} > 0$. Ну, первое ладно, можно умножить линию на $-1$, но ведь знак определителя невозможно изменить никакими аффинными преобразованиями и умножательными константованиями!

А жаль, ведь понимать сопряженные направления, как своего рода ортогональные, очень удобно.

P. S. Я вижу только такой выход из ситуации: рассматривать не только положительно определенные формы, но и «отрицательно определенные". Но мне такой подход не нравится, потому что минус $-$ это убыток, регресс, паника; минус $-$ это свинья.

[Brukvalub]

SomePupil в сообщении #1184502 писал(а):

Направления, $(\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)$ называются сопряженными относительно этой линии, если:

$$(\alpha_{1}, \beta_{1})\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \alpha_{2} \\ \beta_{2} \end{array} \right).$$

Зря вы разволновались, ведь вы дали такое "клевое" "определение" сопряженных направлений, что ничего проверять не нужно, "убыток, регресс, паника" не придут, поскольку любые два направления у вас сопряжены!
Кроме того, физики любят определять "псевдоевклидовы" метрики, опираясь на знакопеременные билинейные формы, и у них от этого случается прибыток, прогресс, уверенность в завтрашнем дне, так что и здесь волноваться не нужно.

[SomePupil]

Brukvalub в сообщении #1184503 писал(а):

любые два направления у вас сопряжены!

Действительно, "клево" получилось.
UPD. Исправил.

Brukvalub в сообщении #1184503 писал(а):

Кроме того, физики любят определять "псевдоевклидовы" метрики, опираясь на знакопеременные билинейные формы, и у них от этого случается прибыток, прогресс, уверенность в завтрашнем дне, так что и здесь волноваться не нужно.

Понятно.

[Munin]

SomePupil в сообщении #1184502 писал(а):

А жаль, ведь понимать сопряженные направления, как своего рода ортогональные, очень удобно.

Тут не надо бояться терминологии. Ну не скалярное это произведение в строгом смысле слова, и ладно.

А надо смотреть на суть дела.

По сути, вам надо рассмотреть несколько типов таких матриц, и для каждой из них понять, как будет вести себя "скалярное произведение" и ортогональность:

$$P_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad P_2=\begin{pmatrix}1&\hphantom{-}0\\0&-1\end{pmatrix},\qquad P_3=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\qquad P_4=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.$$

Все остальные получатся из них каким-то аффинным преобразованием, то есть, "растяжениями, сжатиями и перекосами".

Первый случай - это знакомое вам евклидово скалярное произведение. (Остальные называются псевдоевклидовыми.)

Второй случай - это "скалярное произведение в пространстве Минковского". С ним очень рекомендуется освоиться и поупражняться. Например, вот такие два вектора ортогональны: $(1,\tfrac{1}{2})$ и $(1,2)$ - а вот привычные, казалось бы, $(1,\tfrac{1}{2})$ и $(-1,2)$ - нет, не ортогональны. Векторы вида $(x,\pm x)$ ортогональны сами себе. Кроме них, все остальные ортогональные пары устроены так: плоскость делится на четыре квадранта, повёрнутых на 45°, и вектору из "горизонтального" квадранта ортогональны векторы из "вертикального" (образующие прямую), и наоборот. Но в "однотипном" квадранте не найдётся вектора, ортогонального данному.

Третий случай - это "скалярное произведение в пространстве Галилея". Оно подобно предыдущему, если представить себе "вертикальные" квадранты схлопнувшимися в бесконечно тонкие сектора - лучи. То есть, ровно вертикальные векторы вида $(0,y)$ ортогональны всем остальным - в том числе, и другим вертикальным. А два невертикальных вектора не ортогональны друг другу никогда.

И четвёрный случай - всё ортогонально всему. Он малоинтересен.

-- 14.01.2017 16:48:32 --

В многомерном случае немного интересней, но если вы рассмотрите варианты $\operatorname{diag}(1,1,0),$ $\operatorname{diag}(1,-1,0),$ $\operatorname{diag}(1,1,-1),$ $\operatorname{diag}(1,1,-1,-1),$ то сможете представить себе и все остальные по аналогии.