Два бруса, пройденный путь

[wrest]

Neinstein в сообщении #1184278 писал(а):

могли бы Вы пояснить, что именно сделать?

Я бы рассуждал в таком ключе. По горизонтали никаких внешних сил этой к системе из двух тел не приложено (нет, в том числе, и силы трения), и следовательно по горизонтали центр масс системы ...

Например, представьте что $m2=0$, но большой брус тем не менее не опрокидывается и может двигаться только по горизонтали. Что подсказывает вам интуиция, как он переместится?

[Neinstein]

DimaM,

Цитата:

По вертикали не равна

ммм... по вертикали $m_1 \cdot \vec{g}$ остаётся? Это $\vec{N_{m_2}}+m_2 \cdot \vec{g} = 0$.

А по поводу движения... у него только один вариант: двигаться в противоположную сторону относительно малого бруса. Из закона сохранения импульса хотя бы.

wrest,

при таких условиях брус должен на месте остаться (или же двигаться с постоянной скоростью).

[wrest]

Neinstein
Ну хорошо, допустим что вас смущает "хитрая" форма большого бруска.

При какой форме большого бруска у вас бы не возникло проблем с решением? Допустим большой брусок это клин на тележке, с барьером ("stop" на вашей картинке) внизу в конце клина, о который останавливается малый брусок, а малый брусок это шарик малых размеров, и все какие хотите размеры вам даны. Так легче, сможете решить?

[Neinstein]

wrest,

такая задача разобрана по ссылке, которую предоставил Umka2000.

Там груз как раз скатывается по наклонной плоскости. И расстояние, пройдённое грузом, определяется из соотношения

$\sum\limits_{k=1}^{n} m_k \cdot \Delta x_k = 0$.

Вы акцентируете внимание ещё и на малости бруска, но я пока не понимаю, на что это влияет. В таком случае смещение одного из элементов системы, тяжёлого, будет равным нулю разве что. Или идея другая?

[DimaM]

Neinstein в сообщении #1184317 писал(а):

Это $\vec{N_{m_2}}+m_2 \cdot \vec{g} = 0$.

Не-а.

-- 13.01.2017, 18:20 --

Neinstein в сообщении #1184320 писал(а):

Вы акцентируете внимание ещё и на малости бруска, но я пока не понимаю, на что это влияет.

У маленького бруска понятно, где находится центр масс.

[Neinstein]

DimaM,
но брус бОльшей массы же в вертикальном направлении не перемещается.

Наверно, лучше пойти по порядку. Как я сейчас воспринимаю, что в принципе происходит.

1) Какие силы действуют на каждое тело системы в отдельности? На брус массы $m_2$ действуют: $\vec{N_{m_2}}$, $m_2 \cdot \vec{g}$ и на него давит скатывающийся брус — не знаю, как правильно её обозначить, но эта та же сила по величине, что и та, с которой в ответ на неё действует брус $m_2$, пусть это будет сила $\vec{N_{12}}$, а направлена она перпендикулярно двум другим, $\vec{N_{m_2}}$ и $m_2 \cdot \vec{g}$. На брус массы $m_1$ действуют 2 силы: $\vec{N_{21}}= -\vec{N_{12}}$ и $m_1 \cdot \vec{g}$, силы направлены перпендикулярно друг другу

2) На всю систему действует сила $m_1 \cdot \vec{g}$, остальные скомпенсированы. И отсюда мы можем определить ускорение всей системы.

3) Поскольку ускорение системы не равно нулю, то центр масс сместится в процессе скатывания бруса массы $m_1$.

4) Центр масс системы совпадает с центром масс бруса $m_2$, поскольку размером $m_1$ можно пренебречь. Зная его положение в конечный момент времени, получу ответ на вопрос.

Поправьте, пожалуйста, если я в чём-то заблуждаюсь.

[DimaM]

Neinstein
2) и 4) неверно.
3) верно для вертикального направления.
Главное, совершенно непонятно, зачем все это. Поставленная задача решается в одну формулу с помощью рассмотрения горизонтального движения центра масс системы.

[wrest]

Neinstein в сообщении #1184320 писал(а):

Вы акцентируете внимание ещё и на малости бруска, но я пока не понимаю, на что это влияет. В таком случае смещение одного из элементов системы, тяжёлого, будет равным нулю разве что. Или идея другая?

Идея другая: у малого бруска его координаты и координаты его центра масс это одно и то же.

Просто запишите (не вычисляйте, а просто запишите), для начала, координаты центров масс каждого бруска и системы двух брусков до начала движения и после. Например, в системе отсчета большого бруска (допустим, он прибит к поверхности, на которой стоит).

-- 13.01.2017, 15:34 --

Neinstein в сообщении #1184330 писал(а):

Поправьте, пожалуйста, если я в чём-то заблуждаюсь.

Вы хотите посчитать динамику -- получить зависимость положений от времени (а для этого посчитать силы и ускорения), затем посчитать само время, проинтегрировать и посчитать перемещение.

Но постойте. От чего вообще зависит ответ?
Например, зависит ли ответ от
-- величины силы тяжести (допустим, притяжение в 100 раз больше или в 100 раз меньше земного -- что изменится?)
-- формы наклонной поверхности (допустим это не четверть а окружности, а прямая линия)
-- а если наклонная поверхность вертикальна? т.е. малый брусок падает с какой-то высоты на большой?
-- положения наклонной поверхности (допустим, неизвестные вам остальные размеры кроме наклонной поверхности, стали в 100 раз больше)
-- массы большого и малого брусков (допустим, мы увеличили их соотнолшение в 100 раз, или уменьшили в 100 раз, или приравняли нулю какую-то массу, или приравняли бесконечности -- как качественно изменится ответ?)
-- радиуса окружности -- допустим мы увеличили его в 100 раз или уменьшили в 100 раз -- как изменится ответ?
-- как влияет наличие стопора в конце наклонной поверхности? допустим, стопора нет, что произойдет?

[Neinstein]

wrest,

до начала движения:

для большого бруска (начало беру в нижнем левом углу основания, направление ортов: $\vec{i}$ — вправо,$ \vec{j}$ — вверх), l — длина большого бруска, h — его ширина
$\vec{R}_{m_2} = x_{21} \vec{i} + y_{21} \vec{j}$
для маленького
$\vec{R}_{m_1} = (l - R) \vec{i} + h \vec{j}$

по окончании движения:

для большого бруска
$\vec{R}_{m_2} = x_{21} \vec{i} + y_{21} \vec{j}$ — т.е. ничего не изменится, он не двигается, как договорились
для маленького
$\vec{R}_{m_1} = l \vec{i} + (h - R) \vec{j}$

DimaM,

хочу разобраться. С 4 понял, действительно неправильно понял. А с силами-то в чём не прав в 2?

wrest,

прошу прощения, не заметил Вашу правку.

Цитата:

Вы хотите посчитать динамику -- получить зависимость положений от времени (а для этого посчитать силы и ускорения), затем посчитать само время, проинтегрировать и посчитать перемещение.

Но постойте. От чего вообще зависит ответ?
Например, зависит ли ответ от
-- величины силы тяжести (допустим, притяжение в 100 раз больше или в 100 раз меньше земного -- что изменится?)
-- формы наклонной поверхности (допустим это не четверть а окружности, а прямая линия)
-- а если наклонная поверхность вертикальна? т.е. малый брусок падает с какой-то высоты на большой?
-- положения наклонной поверхности (допустим, неизвестные вам остальные размеры кроме наклонной поверхности, стали в 100 раз больше)
-- массы большого и малого брусков (допустим, мы увеличили их соотнолшение в 100 раз, или уменьшили в 100 раз, или приравняли нулю какую-то массу, или приравняли бесконечности -- как качественно изменится ответ?)
-- радиуса окружности -- допустим мы увеличили его в 100 раз или уменьшили в 100 раз -- как изменится ответ?
-- как влияет наличие стопора в конце наклонной поверхности? допустим, стопора нет, что произойдет?

Про силы спросил по той причине, что хочу у знающих людей поучиться, я, к сожалению, в этих вопросах по-прежнему плаваю. Изначально собирался решать именно через динамику. А теперь хочу понять, что понимаю правильно, а что — нет.

От величины силы тяжести, думаю, ответ зависит: поскольку результирующая сила, действующая на систему центра масс, отлична от нуля в вертикальном направлении (хотя я её величину указал неверно), а в сумме действующих сил сила тяжести присутствует, то это повлияет на величину перемещения центра масс.

От формы наклонной поверхности тоже, потому что в зависимости от этого скатывающееся тело пройдёт разные пути, потенциальная энергия будет меняться.

Если поверхность вертикальна, то, наверно, движения по горизонтали всё же не будет. Объяснить почему — затрудняюсь...

От соотношения масс должно зависеть: от него зависит и скорость и то, насколько сильно одно тело давит на другое.

От радиуса — по той же причине, что указывал выше: будут пройдёны разные по величине пути.

Как влияет стопор — не знаю, как лучше это объяснить... Если он есть, то накопленная кинетическая энергия «заставит» всю систему двигаться в направлении скатывающегося бруска.

[DimaM]

Neinstein в сообщении #1184346 писал(а):

А с силами-то в чём не прав в 2?

Если действует только $m_1g$, то маленький брусок должен свободно падать, что явно не тот случай.
Почему бы вам не нарисовать на картинке все силы, действующие на каждое из тел?

[wrest]

Neinstein в сообщении #1184346 писал(а):

по окончании движения:

вы записали положения центров масс каждого из брусков, а общий центр масс системы брусков где до и после?

[Neinstein]

DimaM,



На мой взгляд, диаграмма сил будет выглядеть так.

wrest,

до:

$\vec{R}_{b} = \frac{m_1 ((l - R) \vec{i} + h \vec{j})+m_2(x_{21} \vec{i} + y_{21} \vec{j})}{m_1+m_2}$

после:

$\vec{R}_{a} = \frac{m_1 (l \vec{i} + (h-R) \vec{j})+m_2(x_{21} \vec{i} + y_{21} \vec{j})}{m_1+m_2}$

[wrest]

Neinstein в сообщении #1184353 писал(а):

до:

$\vec{R}_{b} = \frac{m_1 ((l - R) \vec{i} + h \vec{j})+m_2(x_{21} \vec{i} + y_{21} \vec{j})}{m_1+m_2}$

после:

$\vec{R}_{a} = \frac{m_1 (l \vec{i} + (h-R) \vec{j})+m_2(x_{21} \vec{i} + y_{21} \vec{j})}{m_1+m_2}$

А теперь запишите $\vec{R}_{a}-\vec{R}_{b}$

[DimaM]

Neinstein в сообщении #1184353 писал(а):

На мой взгляд, диаграмма сил будет выглядеть так.

А почему $N_{12}$ горизонтальна?

[Neinstein]

wrest,

$\frac{m_1 R (\vec{i} - \vec{j})}{m_1+m_2}$

Т.е. его длина

$\frac{\sqrt 2 m_1 R}{m_1+m_2}$

DimaM,

это же нормальная составляющая силы реакции, изобразил её по нормали к поверхности.