Проверить рассуждение

[armez]

Всё ли верно в следующем доказательстве?
Утверждение:
Оператор

$$A: f(x) \to f(x)+\frac{1}{3}f \left(\frac{x}{2} \right)$$

положителен в $L^2 (0;+\infty).$
Доказательство:
Норма оператора $B: f(x) \to f(\frac{x}{2})$ равна $\sqrt{2},$ т.к.

$$||Bf||^2 = \int_0^{+\infty}\left| f \left(\frac{x}{2} \right) \right|^2 dx = 2\int_0^{+\infty}|f(t)|^2 dt = 2 ||f||^2. $$

Следовательно,

$$A = I + \frac{1}{3}B \ge I - \frac{\sqrt{2}}{3}I =\left(1-\frac{\sqrt{2}}{3} \right)I > 0. $$

[Brukvalub]

Термин "положительный оператор" имеет два смысла. В каком смысле вы его понимаете здесь?

[armez]

Brukvalub, в смысле неравенства $(Ax,x) \ge 0$ для всех элементов пространства.
В данном случае доказано более сильное неравенство - $(Ax,x) \ge c||x||^2, c > 0.$

[Brukvalub]

armez в сообщении #1184187 писал(а):

в смысле неравенства $(Ax,x) \ge 0$ для всех элементов пространства.

Тогда нужно доказать самосопряженность оператора и заменить неравенство на строгое для всех ненулевых векторов пространства.

[armez]

Brukvalub, правильно ли я понимаю, что осталась не доказанной невырожденность? Т.е. ограниченный положительный оператор автоматически самосопряжён?

[Brukvalub]

Как раз невырожденность доказана, а не доказана самосопряженность.

[armez]

Brukvalub, т.е. не доказано, что A*=A ? Т.е. 1) D(A*)=D(A) и 2) (Ax,y)=(x,Ay) для любых x и y из D(A). Для ограниченного оператора условие 1) можно считать выполненным, и достаточно проверить 2). Вы это имеете в виду?

-- 12.01.2017, 23:00 --

И ещё: в каком другом смысле может пониматься положительность оператора в гильбертовом пространстве?

[Brukvalub]

armez в сообщении #1184212 писал(а):

в каком другом смысле может пониматься положительность оператора в гильбертовом пространстве?

Гугл в помощь!

[armez]

Гугл не дал ответа. Поэтому спрашиваю.

Википедия говорит:
> Положительный оператор в теории операторов употребляется в двух различных смыслах.
> Положительный оператор между векторными решётками — линейный оператор, переводящий положительные вектора в > положительные.
> Положительный оператор на гильбертовом пространстве

О векторных решётках я не спрашивал.
О двух определениях для гильбертова пространства ничего не говорится.

[Brukvalub]

armez в сообщении #1184219 писал(а):

О векторных решётках я не спрашивал.

И о гильбертовом пространстве вы тоже не спрашивали (если только у меня в вашем стартовом топике все на экране отобразилось правильно).

[armez]

Мне казалось, что $L^2$ - гильбертово пространство.

[Brukvalub]

armez в сообщении #1184224 писал(а):

Мне казалось, что $L^2$ - гильбертово пространство.

А мне казалось, что всякий, кто рассуждает про положительный оператор в гильбертовом пространстве,обязан знать, что в определение такого оператора входит требование его самосопряженности, о которой вы и не заикнулись в своем решении.
Будем еще бодаться?

[armez]

Вы больше не желаете отвечать по существу?
Спасибо и на этом.

[Brukvalub]

armez, разве я не ответил вам "по существу"? В вашем стартовом сообщении были существенные пробелы, поэтому я попросил уточнить, о чем именно идет речь. После уточнения я указал на увиденные мной недостатки, затем снова уточнил по вашему запросу, что, на мой взгляд, нужно еще проверить. Какое же дополнительное "существо" вы хотите?

[armez]

Brukvalub, некоторые вопросы остались для меня не выясненными, но если нет желания, Вы не обязаны на них отвечать.