Мне казалось, что

- гильбертово пространство.
А мне казалось, что всякий, кто рассуждает про положительный оператор в гильбертовом пространстве,обязан знать, что в определение такого оператора входит требование его самосопряженности, о которой вы и не заикнулись в своем решении.
Будем еще бодаться?