О доказательствах в геометрии...

[knizhnik]

Munin в сообщении #1184020 писал(а):

Противоречие с аксиомой.

Нет никакого противоречия. Смотрим аксиому: IV. Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Формально она запишется так: $\forall l \ \forall \pi \ \forall \pi_1,\pi_2 \ (F(l,\pi,\pi_1,\pi_2) \Rightarrow \pi=\pi_1 \cup \pi_2)$, где через общий четырехместный предикат $F(l,\pi,\pi_1,\pi_2)$ сокращены все условия для наших объектов, например, что $\pi_1,\pi_2$ - две несовпадающие полуплоскости $\pi$, что $l$ прямая, и не просто прямая, а $l \subset \pi$. Если надо, все это можно выписать подробно, но мне лень. Короче, для произвольных несуществующих объектов справедливо любое утверждение.

Munin в сообщении #1184020 писал(а):

Противоречие с
Цитата:
Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

Фантастически глупое заявление. Во-первых ничего подобного нет среди аксиом (а речь шла только о них). Во-вторых, пусть прямая $\{A,B\}$ разбивает плоскость $\{A,B,C\}$ на $\{A,C\}$ и $\{B,C\}$. Пусть каждый конец отрезка принадлежит своей полуплоскости, одной, но не другой. Таким отрезком может быть только $\{A,B\}$. Тогда отрезок очевидно пересекает прямую $\{A,B\}$ (имеет с ней непустое пересечение). Выходит, вы приписали свое лишнее условие и даже толком не разобрались в нем.

Munin в сообщении #1184020 писал(а):

Противоречие. Угол состоит из лучей.

Это аксиома? Если да, то почему не упомянули. Если нет, то противоречия нет.

Munin, я больше не буду исправлять за вами ваши ошибки. Я просто укажу, что они есть, а дальше пусть вам помогают другие пользователи.

Munin в сообщении #1184020 писал(а):

В общем, попытка не засчитана.

Не засчитана ваша попытка понять написанное. Но я - больше не помощник.

[Munin]

knizhnik в сообщении #1184042 писал(а):

Формально она запишется так

Ну если вы не справились с формализацией, то аксиома-то чем виновата?

knizhnik в сообщении #1184042 писал(а):

Это аксиома?

Это определение угла. Из учебника. Который вы не открывали, а стали охаивать.

Всё, и с вами разговор закончен. (Давно пора.)

[knizhnik]

Munin в сообщении #1184046 писал(а):

Ну если вы не справились с формализацией, то аксиома-то чем виновата?

Не забывайте: формализация - ваше слабое место, а не мое.

Munin в сообщении #1184046 писал(а):

Это определение угла. Из учебника.

При чем тут определение? Я отреагировал на вот это ваше предложение:

Munin в сообщении #1183704 писал(а):

Если кто-то что-то заявляет о "дырах", то хотелось бы конкретнее. Причём, речь не об определениях, а именно об аксиомах.

Но нет, угол состоит из лучей - это не определение из учебника. Откройте наконец учебник и прочитайте.

Munin в сообщении #1184046 писал(а):

Всё, и с вами разговор закончен. (Давно пора.)

Проще говоря, вы хотите помолчать. Я бы это одобрил.

[arseniiv]

Да здесь вообще никто не справился с формализацией. Не назвали, какую теорию кто строит и в каком языке. Банально сигнатуру языка никто нигде не выписал. Но при этом все друг друга осуждают за неправильный подход. Make me unsee this topic.

knizhnik в сообщении #1184042 писал(а):

Формально она запишется так: $\forall l \ \forall \pi \ \forall \pi_1,\pi_2 \ (F(l,\pi,\pi_1,\pi_2) \Rightarrow \pi=\pi_1 \cup \pi_2)$

Вот вы сами тоже поддались теории множеств и включили её в язык. А стоит без. Хотя с такой формулировкой неясно как.

[knizhnik]

arseniiv, зачем поддаваться теории множеств? Считаем, что запись $\pi=\pi_1 \cup \pi_2$ выражает единый и неделимый трехместный предикат разбиения. А теория множеств появляется в только в модели.

[Anton_Peplov]

arseniiv в сообщении #1184069 писал(а):

Да здесь вообще никто не справился с формализацией.

Здесь не все были намерены ею заняться. Некоторые, в т.ч. аз, грешный, упорно стоят на том, что на фиг это дело не нужно в школьной геометрии. Школьная геометрия дает представление о выводе теорем из аксиом на том уровне строгости, который доступен школьнику. И будь в ней на более высоком уровне строгости хоть ад, смерть и утро понедельника, это никого не должно касаться. Но нет, некоторым другим надо встать в позу и сказать, что глобус плохой, потому что круглый, а не геоидный.

[arseniiv]

knizhnik в сообщении #1184071 писал(а):

Считаем, что запись $\pi=\pi_1 \cup \pi_2$ выражает единый и неделимый трехместный предикат разбиения.

Сразу вы об этом не упоминали.

Но повторюсь, что описание кусочков аксиоматической теории и описание всей этой теории — это немного не одно и то же, так что, в принципе, без разницы.

Anton_Peplov в сообщении #1184102 писал(а):

Здесь не все были намерены ею заняться. Некоторые, в т.ч. аз, грешный, упорно стоят на том, что на фиг это дело не нужно в школьной геометрии.

Ну, я не говорю, что это надо, но раз оно обсуждалось, то надо было обсуждать это правильно. От списка аксиом в школьном учебнике до математически точного описания акс. теории не один шаг. И если в аксиомах используются понятия, определённые на основе меньшего подмножества аксиом, все соответствующие определяющие аксиомы всё-таки надо перечислять рядом (или если понимать определения чисто синтаксически, то указывать, во что они там конкретно разворачиваются). Ну и вообще надо удостоверяться, что предложения на естественном языке однозначно переводятся в формулы первого порядка (или какого там кто хочет, что тоже надо указывать). И так далее.

[Anton_Peplov]

arseniiv в сообщении #1184115 писал(а):

От списка аксиом в школьном учебнике до математически точного описания акс. теории не один шаг. И если в аксиомах используются понятия, определённые на основе меньшего подмножества аксиом, все соответствующие определяющие аксиомы всё-таки надо перечислять рядом (или если понимать определения чисто синтаксически, то указывать, во что они там конкретно разворачиваются). Ну и вообще надо удостоверяться, что предложения на естественном языке однозначно переводятся в формулы первого порядка (или какого там кто хочет, что тоже надо указывать). И так далее.

Думаю, тут все это понимают. Однако ж некоторые участники предпринимали попытки нащупать тот уровень строгости, когда до формальной теории еще сто верст лесом, но внутренний зануда уже хмыкает и нехотя роняет: "ну, это еще куда ни шло". Поскольку каждый по-своему представляет себе, как на таком уровне должен выглядеть язык, аксиомы и правила вывода, причем никто не знает, как это представляет себе другой, причем, возможно, не каждый достаточно точно знает, как он сам себе это представляет, но все уверены, что их представления единственно правильны, финал немного предсказуем.

[knizhnik]

Anton_Peplov в сообщении #1184102 писал(а):

Школьная геометрия дает представление о выводе теорем из аксиом на том уровне строгости, который доступен школьнику.

К сожалению, представление о выводе не дает. Школьная геометрия - это курс, в котором вывести полноценно нельзя почти ничего. Каждое школьное доказательство использует неписаные правила, неписаные аксиомы, массу разных вспомогательных построений, определений, оборотов языка. Если б вы захотели привести в порядок аксиоматику, вам пришлось бы переписать в нее что-то около половины учебника. Каждая теорема потянет за собой множество подпорок, используемых в доказательстве. В результате мы получим что-то вроде богословия, когда мы можем только постулировать некие догмы, но не проверять их и не обосновывать. И естественно, все эти догмы, эти подпорки подгоняются под желаемое "доказательство". Это ближе к религии, чем к науке.

Anton_Peplov в сообщении #1184102 писал(а):

И будь в ней на более высоком уровне строгости хоть ад, смерть и утро понедельника, это никого не должно касаться.

Да и ваша позиция тоже по сути религиозная. Что тут обсуждать? Вы предубеждены и от всякой критики заранее отмахнулись.

[Mikhail_K]

knizhnik в сообщении #1184126 писал(а):

К сожалению, представление о выводе не дает.

Я понимаю, что убеждать Вас в этом бесполезно, однако даёт.

knizhnik в сообщении #1184126 писал(а):

Школьная геометрия - это курс, в котором вывести полноценно нельзя почти ничего. Каждое школьное доказательство использует неписанные правила, неписанные аксиомы, массу разных вспомогательных построений, определений, оборотов языка.

Это верно, но суть в том, что школьники этого не замечают. Для них всё нормально.
В истории развития математики было совсем не так, что вначале люди совсем не знали никакой логики, а потом сразу прыгнули к современным представлениям о математической строгости. Понадобилась долгая эволюция представлений о том, что можно считать строгим доказательством, что нельзя.
Точно так же и школьников нельзя учить сразу на современном уровне строгости.

knizhnik в сообщении #1184126 писал(а):

В результате мы получим что-то вроде богословия, когда мы можем только постулировать некие догмы, но не проверять их и не обосновывать. И естественно, все эти догмы, эти подпорки подгоняются под желаемое "доказательство".

Вы очень утрируете. Уровень строгости школьной геометрии далёк от современного, но этот уровень существует и не позволяет доказывать вообще что угодно. То есть, можно представить себе случай, когда рассуждения, проведённые на школьном уровне строгости ("на пятёрку"), ведут к абсурду (даже знаю такие примеры). Но этот уровень строгости с достаточной чёткостью разграничивает рассуждения на удовлетворяющие и не удовлетворяющие ему.
Возможно, Вам сложно спуститься с небес высокой математики на землю математики школьной, и поэтому сложно увидеть в ней и обоснования, достаточно убедительные для школьников, и отсутствие заметных (опять же, заметных для школьников) "подгонок под доказательство".

knizhnik в сообщении #1184126 писал(а):

Если б вы захотели привести в порядок аксиоматику

то получили бы учебник, по которому невозможно школьника чему-то научить.

[arseniiv]

Погодите, но в каких-нибудь из редакций учебника Колмогорова с аксиоматикой и с её использованием в тексте уж точно должно быть всё практически нормально, разве нет? Её явный вид тут ещё не цитировали.

[knizhnik]

Mikhail_K в сообщении #1184137 писал(а):

получили бы учебник, по которому невозможно школьника чему-то научить.

Я не о том, в какой форме учить. Я о том, зачем этому учить. Формализация просто четко вскрывает проблему, но не является ее решением.

Mikhail_K в сообщении #1184137 писал(а):

Возможно, Вам сложно спуститься с небес высокой математики на землю математики школьной

Мне сейчас сложно подняться.

Mikhail_K в сообщении #1184137 писал(а):

и поэтому сложно увидеть в ней и обоснования, достаточно убедительные для школьников, и отсутствие заметных (опять же, заметных для школьников) "подгонок под доказательство".

Никогда в том не видел ничего убедительного. Более того, олимпиады заваливал именно в геометрической части. Догматизация, шаблонность и постоянная подгонка полностью отучают думать мозгом.

[Metford]

knizhnik в сообщении #1184149 писал(а):

Догматизация, шаблонность и постоянная подгонка полностью отучают думать мозгом.

А попытка в школе лезть в дебри аксиоматики приучает думать (чем - не уточняю: вроде бы тут вариантов немного) о чём-то не о том. И большинство реально встречающихся задач - это найти такое-то расстояние или такой-то угол. С чем геометрия прекрасно справляется. Только не та, за которую Вы ратуете. И вот лучше бы школьников этой геометрии учили, как следует...

Простите, не удержался. Ввязываться вообще не хотел и продолжать не предполагаю.

[LionKing]

1) Metford-у:
На самом деле было бы лучше не заниматься ерундой как Погорелов и Атансян, а просто сразу строить эвклидову планиметрию/стереометрию на теоретико множественном фундаменте. Так было бы лучше. Так было бы проще. Причем так было бы проще и в понятийном аспекте, что немаловажно. При этом рассмотрение самих аксиоматик ТМ можно было бы с чистой совестью отложить до лучших времен без особого ущерба для детей. Такой подход реализован у Расина, например. Говорить школьникам про аффинные пространства все-таки такой себе вариант.) Еще вариант, вообще убрать аксиомы из курса школьной геометрии, и излагать элементарную геометрию эмпирически, не углубляясь в тонкости формализма, опираясь на интуицию и здравый смысл. Выбирайте тот вариант, который вам больше по душе. Мне не кажется, что аксиоматический подход а-ля Погорелов/Атанасян делает курс геометрии сколь нибудь строгим, и уж точно он не делает его более простым или более "геометричным".
2) Munin-у:
Вот вам еще один пробел аксиоматики Атанасяна, если хотите:
Мы не можем доказать, что если первый треугольник равен второму, а второй треугольник равен третьему, то первый треугольник равен третьему, ибо нигде не сказано в аксиомах, что треугольник - фигура, а "множество точек" - понятие вообще отсутствующее в системе аксиом Атанасяна. Как-то так.
И, кстати, не стоит, еще раз заявляю, воспринимать мои комментарии как выпады, ибо выпадами они не являются. Обстановку я не накаляю, поэтому не нужно рвать на себе рубаху.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1184069 писал(а):

Да здесь вообще никто не справился с формализацией.

Особенно те, кто и цели такой перед собой не ставил.

LionKing в сообщении #1184180 писал(а):

На самом деле было бы лучше не заниматься ерундой как Погорелов и Атансян, а просто сразу строить эвклидову планиметрию/стереометрию на теоретико множественном фундаменте.

Для школьников? Вы хоть раз в жизни живого школьника видели?

LionKing в сообщении #1184180 писал(а):

Еще вариант, вообще убрать аксиомы из курса школьной геометрии, и излагать элементарную геометрию эмпирически, не углубляясь в тонкости формализма, опираясь на интуицию и здравый смысл.

Это значит, не учить школьников доказывать. Геометрия превратится в географию.

LionKing в сообщении #1184180 писал(а):

Вот вам еще один пробел аксиоматики Атанасяна, если хотите:
Мы не можем доказать, что если первый треугольник равен второму, а второй треугольник равен третьему, то первый треугольник равен третьему, ибо нигде не сказано в аксиомах, что треугольник - фигура

Это не пробел. Потому что это и не должно быть сказано в аксиомах. Так паясничая, вы скоро дойдёте до того, что нигде в аксиомах не сказано, что такое "и", и что такое "если".

LionKing в сообщении #1184180 писал(а):

Обстановку я не накаляю

Вы первым сделали большой вброс субстанции в вентилятор. Не видеть этого - надо слепым быть.