О доказательствах в геометрии...

[arseniiv]

Я тут ни на чью сторону не встаю, но упомяну, что в нормальных аксиоматиках размерность пространства фиксируется. А не так что бы «а ну её, какая-то из 0…3».

[knizhnik]

Munin в сообщении #1183704 писал(а):

I. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
II. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
III. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
IV. Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.
V. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
VI. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
VII. От полупрямой на содержащей ее плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
VIII. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.
IX. На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
С1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
С2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
С3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

Итак, пусть имеется всего четыре различных точки: $A$, $B$, $C$ и $D$. Плоскостью и треугольником мы будем считать всякое трехэлементное множество из этих точек. Прямой и отрезком - двухэлементное. Углом считаем любую точку треугольника. Лучей, полуплоскостей нет. Пройдемся теперь по аксиомам:
I. Верно.
II. Утверждение относится к произвольным трем точкам, которых у нас нет в прямой. Поэтому верно.
III. Каждый отрезок - единичной длины. А что такое часть? Пусть две части - это сам отрезок и пустое множество длины ноль. Тогда все разбиения тривиальны.
IV. Для простоты считаем, что полуплоскостей нет. Хотя можно отождествить полуплоскость с прямой и получить разбиения. Скажем прямая $\{A,B\}$ разбивает плоскость $\{A,B,C\}$ на $\{A,C\}$ и $\{B,C\}$.
V. Пусть всякий угол равен 90°. Лучей нет, поэтому для любого луча и угла аксиома выполняется.
VI. Верно. Лучей нет.
VII. Верно. Лучей нет.
VIII. Верно. Лучей нет.
IX. Не более одной здесь означает ни одной.
С1. Верно.
С2. Верно. Например две плоскости $\{A,B,C\}$ и $\{B,C,D\}$ имеют общую точку $B$, и они пересекаются по прямой $\{B,C\}$.
С3. Верно. Например две прямые $\{A,B\}$ и $\{B,C\}$ имеют общую точку $B$, и через них можно провести плоскость $\{A,B,C\}$.

-- 11.01.2017, 18:47 --

Задачи для Munin:
-Найти размерность данной евклидовой геометрии.
-Объяснить, почему в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 270°.

[iifat]

Хм. Не заметил сразу: почему IX не более одной? В Евклидовой геометрии как раз ровно одна. Менее одной — это у Римана, и там как раз сумма углов треугольника даже в мирное время может достигать 270 градусов.

[knizhnik]

А у Римана может так быть, что существует всего несколько углов, и все они прямые?
Хотя... Это не суть. Суть, что "аксиоматика" Погорелова несостоятельна и ни для какой геометрии не пригодна. То же касается других школьных книг по "геометрии".

[iifat]

У Римана сумма углов треугольника... ну и так далее. Про количество ничего не сказано.
Суть в том, что аксиоматика Погорелова (в том виде, в котором воспроизвёл её Munin) — не евклидова. И всё.

[Mikhail_K]

iifat в сообщении #1183923 писал(а):

Хм. Не заметил сразу: почему IX не более одной?

Насколько я помню, то, что одна прямая существует - доказывается на основе других аксиом в этом же учебнике.

[Anton_Peplov]

В. Успенский в книге Апология математики писал(а):

“Через точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести прямую, параллельную этой заданной прямой”. Это уже значительно лучше, потому что такой ответ всего лишь неверен, но уже не абсурден. Неверен же ответ потому, что представляет собою не аксиому, а теорему. (Теорема эта доказывается чрезвычайно просто: из точки надо сперва опустить перпендикуляр на заданную прямую, а затем из той же точки восставить перпендикуляр к опущенному перпендикуляру; тогда заданная прямая и восставленный перпендикуляр будут перпендикулярны к одной и той же прямой - а именно к опущенному перпендикуляру - и потому параллельны.) Подлинный же смысл аксиомы о параллельных не разрешительный, а запретительный: она утверждает не то, что нечто сделать можно, а то, что чего-то сделать нельзя, что чего-то не существует. Вот её правильная формулировка: Через точку, не лежащую на заданной прямой, нельзя провести более одной прямой, параллельной этой заданной прямой.

[Nemiroff]

Munin в сообщении #1183894 писал(а):

Я не знаю, что у вас случилось. Вроде, не пятница (некоторые выпивают). Но видимо, временно я вынужден буду прекратить общение на таком низком уровне, и поставить игнор.

Munin, ну вы же сами задаёте уровень общения. Вот два утверждения:

Цитата:

Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.

и

Цитата:

Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекается с прямой. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям,то отрезок пересекается с прямой.

Вы понимаете, что они отличаются?

[knizhnik]

Mikhail_K в сообщении #1183945 писал(а):

Насколько я помню, то, что одна прямая существует - доказывается на основе других аксиом в этом же учебнике.

Нет, доказать ее только лишь на основе этих аксиом невозможно. И мне не удалось найти в книге ничего близко похожего на доказательство.

Anton_Peplov, в приведенной модели параллельных нет. К чему вы привели эту постороннюю цитату - непонятно. Хорошо еще, не предложили считать протоны в ядре.

[iifat]

Mikhail_K в сообщении #1183945 писал(а):

то, что одна прямая существует - доказывается на основе других аксиом в этом же учебнике

Этого не может быть потому что этого не может быть никогда! Геометрия Римана, где параллельных вообще нет, вполне себе здравствует.

[Anton_Peplov]

knizhnik, я отвечал на сообщения iifat и Mikhail_K. Вот на эти:

Mikhail_K в сообщении #1183945 писал(а):

iifat в сообщении #1183923 писал(а):

Хм. Не заметил сразу: почему IX не более одной?

Насколько я помню, то, что одна прямая существует - доказывается на основе других аксиом в этом же учебнике.

Я понимаю, Вам кажется, что Вы тут один и разговаривать можно только с Вами. Загвоздка в том, что мне так не кажется.

Да, давнее сообщение про количество протонов в ядре имело смысл, понятый теми, кому оно предназначалось.

[knizhnik]

Anton_Peplov в сообщении #1184009 писал(а):

knizhnik, я отвечал на сообщения iifat и Mikhail_K. Вот на эти:

Ну что ж, вы не смогли ничего вразумительного ответить на эти сообщения. Как и на любые другие в этой теме.

Anton_Peplov в сообщении #1184009 писал(а):

Я понимаю, Вам кажется, что Вы тут один и разговаривать можно только с Вами.

Мне кажется, разговаривать можно с теми, кто хотя бы вникает в ход обсуждения.

[Mikhail_K]

iifat в сообщении #1184003 писал(а):

Этого не может быть потому что этого не может быть никогда! Геометрия Римана, где параллельных вообще нет, вполне себе здравствует.

В ней не выполняются другие аксиомы, например II, IV.
Можно попытаться проследить доказательство существования прямой, проходящей через данную точку и параллельную данной, вплоть до аксиом, и посмотреть, какая там используется аксиома, не выполняющаяся в геометрии Римана.

[LionKing]

Предлагаю всем участникам этой дискуссии "понизить градус", а не то, боюсь, может, чего доброго, и до драки дойти.))) Я серьезно. В конце концов, ничего страшного не происходит. Нет причин развязывать ядерную войну в этом топике.)

[Munin]

knizhnik в сообщении #1183903 писал(а):

Это отличие математики от прочих гуманитарных наук.

То есть, из пальца высосали.

knizhnik в сообщении #1183903 писал(а):

Я могу предложить другую модель, в которой нарушаются теоремы из учебника.

А вы предложите. Теоремы потому теоремами и являются, что верны в любой модели. Они вообще не опираются на модель, а выводятся из аксиом формальным образом.

-- 12.01.2017 16:36:41 --

knizhnik в сообщении #1183907 писал(а):

IV. Для простоты считаем, что полуплоскостей нет.

Противоречие с аксиомой.

knizhnik в сообщении #1183907 писал(а):

Хотя можно отождествить полуплоскость с прямой и получить разбиения. Скажем прямая $\{A,B\}$ разбивает плоскость $\{A,B,C\}$ на $\{A,C\}$ и $\{B,C\}$.

Противоречие с

Цитата:

Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

knizhnik в сообщении #1183907 писал(а):

V. Пусть всякий угол равен 90°. Лучей нет

Противоречие. Угол состоит из лучей.

В общем, попытка не засчитана. Конечные геометрии, конечно, существуют, но устроены посложнее.

Nemiroff в сообщении #1183950 писал(а):

Вы понимаете, что они отличаются?

Тем, что вы не читали учебника. В котором всё "различие" вынесено в сопроводительный текст (он является не аксиомой, а по сути, определением понятия полуплоскости).

-- 12.01.2017 16:38:42 --

LionKing в сообщении #1184013 писал(а):

Предлагаю всем участникам этой дискуссии "понизить градус"

А кто его поднял?

-- 12.01.2017 16:39:51 --

Anton_Peplov в сообщении #1184009 писал(а):

Да, давнее сообщение про количество протонов в ядре имело смысл

Ох... тут их опять 79? Тяжело как-то...