Простая вероятностная задача

[vamoroz]

Возможно, меня плохо учили. С моей точки зрения задача четко сформулирована, определено множество исходов, их вероятности, указано вероятность какого события нужно определить. Могу согласиться, что задача может быть отнесена к типу «дурацких» и проблемно-реализуемых в действительности. Но с точки зрения математики она сформулирована четко. Да и решение ее примитивно, - надо одно число (5) разделить на другое (30). Однако, подавляющее большинство участников дискуссии продолжает утверждать, что постановки нет. А позиция Brukvalub, вообще, не понятна. С одной стороны, он «прикрывается» статистикой

Brukvalub в сообщении #1181193 писал(а):

Этот факт можно проверить статистическим экспериментом.

с другой стороны, он полностью статистику отрицает

Brukvalub в сообщении #1181193 писал(а):

никакие естественные соображения, подтверждаемые статистикой, нас не рассудят.

Да и попытки реализовать на практике придуманное распределение озвучены. Xaositect предлагает

Xaositect в сообщении #1181196 писал(а):

Если Вы пять одинаковых монет перекидываете заново, пока не получится хороший вариант - то будет равномерное распределение и будет $5/30$.

Кроме описанного автором распределения почему-то активно предлагаются и другие. Например, Xaositect упоминает

Xaositect в сообщении #1181196 писал(а):

А если Вы после четырех орлов автоматически пишете решку (или, что то же самое, перекидываете одну последнюю монету, пока не выпадет хорошая комбинация) - будет $6/32$.

а Someone

Someone в сообщении #1180616 писал(а):

Я могу предложить такой способ, когда ответом будет $\frac 5{32}$, или такой, когда получится $\frac 16$.

В свою очередь я могу предложить свой рецепт получения случайной последовательности оглов и решек, удовлетворяющей описанному выше распределению. Последовательно бросаются монета и анализируются последние 5 бросков. Если результат соответствуют ограничению, то производится следующая серия из 5-ти бросков. Если выбрасывается 5 гербов или 5 решек, что запрещено , то монета бросается 6-й раз, а анализируется на ограничение 5 последних результатов (1-й результат из серии из 6-ти бросков забраковывается). Так можно организовать распределение, описанное неполным множеством исходов.

[atlakatl]

vamoroz

Лукомор в сообщении #1181221 писал(а):

Она, как раз и будет равна 5/30.

Ответ - по наконец-то сформулированной в очередной раз задаче - был дан 3,5 суток назад.
И он - последний.
К чему Ваша последняя простыня-жалоба "Меня не понимают"?

-- 04.01.2017, 13:25 --

vamoroz в сообщении #1181819 писал(а):

Однако, подавляющее большинство участников дискуссии продолжает утверждать, что постановки нет

Это просто ложь.

[Brukvalub]

vamoroz в сообщении #1181819 писал(а):

С одной стороны, он «прикрывается» статистикой Brukvalub в сообщении #1181193

писал(а):
Этот факт можно проверить статистическим экспериментом. с другой стороны, он полностью статистику отрицает Brukvalub в сообщении #1181193

писал(а):
никакие естественные соображения, подтверждаемые статистикой, нас не рассудят.

Раз уж вы пошли на прямой подлог, выдергивая цитированием мои фразы из контекста и, тем самым, превращая их в противоречащие друг другу утверждения, хотя исходно они были сказаны в разных местах и про разные распределения, то не вижу смысла поддерживать с вами диалог. С теми, кто готов для своего самооправдания выставить путем грязной подтасовки фактов оппонента дураком, я не общаюсь.

[Xaositect]

vamoroz в сообщении #1181819 писал(а):

Возможно, меня плохо учили. С моей точки зрения задача четко сформулирована, определено множество исходов, их вероятности, указано вероятность какого события нужно определить.

Ну так в вашей формулировке вероятности не указаны.

vamoroz в сообщении #1181819 писал(а):

Последовательно бросаются монета и анализируются последние 5 бросков. Если результат соответствуют ограничению, то производится следующая серия из 5-ти бросков. Если выбрасывается 5 гербов или 5 решек, что запрещено , то монета бросается 6-й раз, а анализируется на ограничение 5 последних результатов (1-й результат из серии из 6-ти бросков забраковывается). Так можно организовать распределение, описанное неполным множеством исходов.

Вот теперь вероятности можно посчитать и задача поставлена. Ваше равномерное распределение при таком эксперименте не получится, ответ $5/30$ неверен. Правильный ответ $6/32$.

[Лукомор]

vamoroz в сообщении #1181819 писал(а):

Если результат соответствуют ограничению, то производится следующая серия из 5-ти бросков.

А если в первых четырех бросках монеты выпадет два герба и две решки, тоже отбраковываем?!
Там что-то было в условии про ровно одну решку? или я путаю?
А, нет я путаю, нам как раз нужно найти вероятность того, что решка ваего одна. Извиняюсь...

-- Ср янв 04, 2017 10:13:51 --

Xaositect в сообщении #1181827 писал(а):

Правильный ответ $6/32$.

Да, в этом случае вероятность того, что решка выпадет при последнем (а он может быть и шестым, и седьмым, и.т.д) броске будет в два раза выше, чем при любом не последнем броске... то есть будет шесть благоприятных событий:решка выпадает при одном из первых пяти бросков, и решка выпадает при любом броске после пятого...
Все шесть событий равновероятны!

[Someone]

vamoroz в сообщении #1181819 писал(а):

а Someone

Someone в сообщении #1180616 писал(а):

Я могу предложить такой способ, когда ответом будет $\frac 5{32}$, или такой, когда получится $\frac 16$.

В свою очередь я могу предложить свой рецепт получения случайной последовательности оглов и решек, удовлетворяющей описанному выше распределению. Последовательно бросаются монета и анализируются последние 5 бросков. Если результат соответствуют ограничению, то производится следующая серия из 5-ти бросков. Если выбрасывается 5 гербов или 5 решек, что запрещено , то монета бросается 6-й раз, а анализируется на ограничение 5 последних результатов (1-й результат из серии из 6-ти бросков забраковывается). Так можно организовать распределение, описанное неполным множеством исходов.

Как уже Вам писал Xaositect, это распределение не является равномерным и даёт вероятность того, что получится в точности одна решка, равную $\frac 6{32}$. Я уже писал, что мой ответ для этого случая неправильный.

Но ваше множество элементарных исходов для описанного Вами эксперимента является неполным: в нём будет не $30$ элементарных исходов, а по меньшей мере $31$. В качестве "тридцать первого" элементарного исхода можно взять, например, "начиная с некоторого момента монета выпадает всегда одной и той же стороной". Ввиду этого, я не стал бы формулировать дополнительное правило таким образом. Гораздо проще просто считать, не подбрасывая монету пятый раз, что после четырёх решек подряд обязательно идёт герб, а после четырёх гербов подряд — решка. Результат будет тот же, но без риска весь остаток жизни посвятить подбрасыванию монеты.

А вот чтобы получить равномерное распределение вероятностей на $30$ элементарных исходах, дополнительное правило надо сформулировать иначе (где-то в теме оно уже сформулировано — я специально его здесь не формулирую, чтобы Вы перечитали тему).

P.S. И, конечно, где-то должно быть сказано, что монета у нас "правильная", то есть, обе её стороны выпадают с одинаковыми вероятностями, и на ребро она не становится. Поскольку бывают и "неправильные" монеты.

[Лукомор]

Someone в сообщении #1181949 писал(а):

Гораздо проще просто считать, не подбрасывая монету пятый раз, что после четырёх решек подряд обязательно идёт герб, а после четырёх гербов подряд — решка.

Я внимательно прочитал все темы, начатые топикстартером на этом форуме, тут занятная коллизия вырисовывается.

Если после четырех гербов принудительно рисовать решку в пятой попытке, то у нас будет условная вероятность этой самой решки в пятой попытке, при условии четырех гербов в первых четырех попытках равна единице, а условная вероятность герба после четырех гербов будет равна нулю.

Заветная мысль топикстартера - придумать опыт, в котором условная вероятность герба после четырех гербов была бы равна нулю, а условная вероятность решки после четырех гербов была бы равна 1/2, то есть, чтобы выполнялось равенство
$0+1/2=1$.
Я боюсь только одного: что мне не хватит запасов поп-корна...

[vamoroz]

Someone в сообщении #1181949 писал(а):

чтобы получить равномерное распределение вероятностей на $30$ элементарных исходах, дополнительное правило надо сформулировать иначе

Вынужден признать свою ошибку в предложенном рецепте получения желаемого равномерного распределения. Меняю рецепт. Перекидывать надо не одну, а две монетки в серии из 5-ти бросков.

Xaositect в сообщении #1181196 писал(а):

Если Вы пять одинаковых монет перекидываете заново, пока не получится хороший вариант - то будет равномерное распределение и будет $5/30$.

Конечно, можно перекидывать и 5 монет, и 4, и 3. Но для достижения равномерного распределения достаточно перебрасывать только две монеты до тех пор, пока не будет получен «хороший» результат.

[Xaositect]

Нет, если перекидывать 2 монеты, то будет $19/96$.

[Лукомор]

vamoroz в сообщении #1182429 писал(а):

Перекидывать надо не одну, а две монетки в серии из 5-ти бросков.

Вторую и четвертую?!

[vamoroz]

Наверное, не принципиально, какова вероятность того или иного события. При необходимости, каждый желающий определяет ее по своему. Например, начиная тему я был уверен, что вероятность выбрасывания одной решки, при броске 5-ти монет и условии запрета выпадания подряд 5-ти монет одной стороной равна 5/30, что примерно составляет 0,17. В процессе обсуждения мне было разъяснено, что для более точного вычисления искомой величины необходимо предоставить дополнительные сведения. Дело в том, что вероятности рассматриваемого в задаче множества исходов могут незначительно отличаться. Дополнительная информация была необходима именно для того, что бы правильно определить вероятности множества исходов. Поэтому от меня усиленно допытывались, какие действия я буду предпринимать для обеспечения оговоренного распределения. Сначала я предложил перебрасывать одну монетку. Как выяснилось, такие действия не приводят к равномерному распределению вероятности исходов. В данном случае, множество исходов, по значениям их вероятностей, можно было разбить на два подмножества с равными вероятностями.
На примере перебрасывания последней монеты множество исходов $\Omega $ представляет собой совокупность двух подмножеств $\Omega=\Omega_1+\Omega_2$, где
$\Omega=\{\omega: \omega=(x_1,x_2,…,x_5 )\}, x_i=$ {Г,Р}, $ p(x_i)=1/2, $ {ГГГГГ} $\notin\Omega, $ {РРРРР} $ \notin\Omega $
$ \Omega_1 = $ {РРРРГ,ГГГГР}, $ \omega_i \in\Omega_1,p(\omega_i )=1/16$
$ \Omega_2 = \Omega \setminus \Omega_1, \omega_i \in\Omega_2,p(\omega_i )=1/32$
В данном случае вероятность выпадания одной решки определяется как
$P=P$ (РГГГГ) $ +P $ (ГРГГГ) $+P $ (ГГРГГ) $ + P $ (ГГГРГ) $+P $ (ГГГГР) $=1/32+1/32+1/32+1/32+1/16=6/32= 0,1875\approx0,19$
Разницу вычисленых вероятностей 0,19 – 0,17 можно считать незначительной и на различие методик вычисления вполне можно «закрыть глаза», если не учитывать «принципиальных позиций». Для получения равномерного распределений множества исходов так же было предложено перебрасывать не одну, а две монетки. Как оказалось, данная тактика так же не позволяет получить равномерного распределения множества исходов. В данном случае множество исходов по их вероятностям также делится на два подмножества $\Omega=\Omega_1+\Omega_2$.
Если перебрасываются две последние монетки, то эти множества определены как
$\Omega_1=${РРРРГ,РРРГР,РРРГГ,ГГГГР,ГГГРГ,ГГГРР} $,\omega_i\in \Omega_1,p(\omega_i )=1/24$
$ \Omega_2 = \Omega \setminus \Omega_1, \omega_i \in\Omega_2,p(\omega_i )=1/32$
Учитывая данное распределение вероятностей множества исходов, вероятность выпадания одной решки определяется как
$P=P$ (РГГГГ) $ +P $ (ГРГГГ) $+P $ (ГГРГГ) $ + P $ (ГГГРГ) $+P $ (ГГГГР) $=1/32+1/32+1/32+1/24+1/24=17/96 \approx0,18$

Xaositect в сообщении #1182431 писал(а):

если перекидывать 2 монеты, то будет $19/96$

$19/96\approx 0,20$ . Разницу вычисленных вероятностей так же можно считать незначительной.
Равномерное распределенией вероятностей множества исходов можно наблюдать при перебрасывании любых 4-х монет из пяти. В этом случае множество исходов имеет равномерное распределение с вероятностью наступления исхода $1/30$

[Лукомор]

vamoroz в сообщении #1183634 писал(а):

В этом случае множество исходов имеет равномерное распределение с вероятностью наступления исхода $1/30$

А зачем такие сложности?!
Берем урну, в нее кидаем 30 шариков, 5 красных, 25 синих.
Вероятность вытащить любой шарик - 1/30.
Вероятность вытащить красный шарик - 5/30.

[vamoroz]

Лукомор в сообщении #1181957 писал(а):

Заветная мысль топикстартера - придумать опыт, в котором ...

После того, как последовательность действий, позволяющая получить равномерное распределение на множестве исходов с ограничением на примере подбрасывания 5-ти монет определена, Лукомор почему то предлагает подменить задачу.

Лукомор в сообщении #1183702 писал(а):

Берем урну, в нее кидаем 30 шариков, 5 красных, 25 синих.

В свое время B@R5uk предлагал сделать что-то подобное

B@R5uk в сообщении #1181195 писал(а):

Вы берёте барабан (как в "Поле Чудес"), разбиваете его на 30 равных секторов и на каждом секторе рисуете каждую из 30 "разрешённых вами" комбинаций. Затем вы этот барабан крутите и получаете вашу комбинацию орлов и решек.

при этом B@R5uk уточнил,что

B@R5uk в сообщении #1181195 писал(а):

Как видите, ничего общего с подбрасыванием монетки задача не имеет. Просто потому что пространство событий совершенно другое.

Если раньше со стороны участников форума были замечания по способу получения множества равновероятных исходов, то на последнее предложение (для достижения равномерного распределения достаточно перебросить любые 4 монетки из 5-ти) форум ответил молчанием. Никто не опроверг предлагаемый способ, никто не согласился с ним.

[Xaositect]

vamoroz в сообщении #1183634 писал(а):

Если перебрасываются две последние монетки, то эти множества определены как
$\Omega_1=${РРРРГ,РРРГР,РРРГГ,ГГГГР,ГГГРГ,ГГГРР} $,\omega_i\in \Omega_1,p(\omega_i )=1/24$
$ \Omega_2 = \Omega \setminus \Omega_1, \omega_i \in\Omega_2,p(\omega_i )=1/32$
Учитывая данное распределение вероятностей множества исходов, вероятность выпадания одной решки определяется как
$P=P$ (РГГГГ) $ +P $ (ГРГГГ) $+P $ (ГГРГГ) $ + P $ (ГГГРГ) $+P $ (ГГГГР) $=1/32+1/32+1/32+1/24+1/24=17/96 \approx0,18$

Да, я ошибся, не $19/96$, а $17/96$

vamoroz в сообщении #1183634 писал(а):

Разницу вычисленых вероятностей 0,19 – 0,17 можно считать незначительной и на различие методик вычисления вполне можно «закрыть глаза», если не учитывать «принципиальных позиций».

Это зависит от того, где Вам эти результаты использовать, можно ли считать погрешность в 10% незначительной или нет.

[Лукомор]

Xaositect в сообщении #1184340 писал(а):

Да, я ошибся, не $19/96$, а $17/96$

Извините, мне любопытно, как Вы себе представляете процедуру перебрасывания двух последних монет?
Просто это можно делать сильно по разному...
Вот у меня по прежнему получается $6/32$, то-бишь $18/96$, не могу найти ошибку у себя.
Точнее, я вот чего не понимаю...
Мы же перебрасываем только комбинацию 5 гербов подряд.
Изначально ее вероятность $1/32$.
Перебрасываем две монеты, пока не появится первая решка...
Вероятность комбинации {ГГГГГ}, таким образом, убиваем до нуля, рано или поздно...
На вероятности комбинаций {РГГГГ}, {ГРГГГ}, {ГГРГГ} перебрасывание никак не повлияет.
А вероятности комбинаций {ГГГРГ}, и {ГГГГР} в сумме должны увеличиться на те же $1/32$...
Или я не прав?!
И отдельно вопрос по LaTeX...
Как сделать, чтобы была видна кириллица в фигурных скобках в моем сообщении?
Я не умею...
Или хотя бы в круглых скобках...