О доказательствах в геометрии...

[OlegCh]

В процессе преподавания геометрии обычно строго придерживаются последовательности доказательств. Из аксиом Евклида выводятся первые фундаментальные теоремы. Из них следующие. Далее выводятся теоремы из уже известных и доказанных. Как бы растет такое дерево с ветвями. Затем эти ветви начинают между собой переплетаться, соединяться, разветвляться и в результате мы имеем дерево утверждений, каждое из которых по идее доказано какими-то предыдущими утверждениями. Не знаю, сколько на сегодняшний день известно геометрических теорем, лемм, следствий и свойств, но осмелюсь предположить - очень и очень много. И вот допустим, на какой-то олимпиаде человек решает задачу, используя те-то и те-то утверждения с этого дерева. Каждое из этих утверждений само по себе бесспорно, поскольку принадлежит этому дереву. Но ведь никто и никогда, насколько я представляю, не проверяет правильность решения задачи на последовательность используемых утверждений. Не может ли случиться так, что приводимое (и засчитываемое) доказательство использует факты, которые расположены на дереве "выше" и на которые опираться в общем-то строго говоря нельзя? Тем более, что всегда считается чем короче доказательство, тем лучше решение.
Вот такая мысль меня вдруг посетила после новогодних каникул...

[Pphantom]

OlegCh в сообщении #1183324 писал(а):

Но ведь никто и никогда, насколько я представляю, не проверяет правильность решения задачи на последовательность используемых утверждений.

Насколько мне известно (как минимум из собственного школьного опыта), это утверждение неверно.

[arseniiv]

OlegCh в сообщении #1183324 писал(а):

Не может ли случиться так, что приводимое (и засчитываемое) доказательство использует факты, которые расположены на дереве "выше" и на которые опираться в общем-то строго говоря нельзя?

Может случиться другое: эквивалентные друг другу теоремы могут доказываться в разной последовательности одна через другую или наоборот, и в некоторых случаях общепринятого порядка нет. В таком случае кто-то действительно может составить вывод, который в разном контексте будет пониматься как правильный или неправильный.

[OlegCh]

Pphantom в сообщении #1183333 писал(а):

Насколько мне известно (как минимум из собственного школьного опыта), это утверждение неверно.

Как Вы это определили? Мне кажется, проверяющий обладает настолько обширным багажом знаний в предмете, что он может легко отличить верный посыл от неверного, но навряд ли он помнит последовательность доказательств от первоначальных аксиом. Разве здесь не может возникнуть ситуации в использовании "более верхних" теорем при доказательстве какого-то "более нижнего" утверждения (это я все с этим самым деревом ассоциирую)?

-- 10.01.2017, 17:39 --

arseniiv в сообщении #1183336 писал(а):

Может случиться другое: эквивалентные друг другу теоремы могут доказываться в разной последовательности одна через другую или наоборот

Ну вот я примерно об этом и говорю.

[Pphantom]

OlegCh в сообщении #1183344 писал(а):

Как Вы это определили? Мне кажется, проверяющий обладает настолько обширным багажом знаний в предмете, что он может легко отличить верный посыл от неверного, но навряд ли он помнит последовательность доказательств от первоначальных аксиом. Разве здесь не может возникнуть ситуации в использовании "более верхних" теорем при доказательстве какого-то "более нижнего" утверждения (это я все с этим самым деревом ассоциирую)?

В мои школьные времена было два типовых учебника (вернее, две серии учебников) геометрии - Погорелова и Атанасяна, которые как раз аксиоматикой (и, как следствие, последовательностью вывода теорем) и отличались. Соответственно, на турах олимпиад, где имелись геометрические задачи, одним из стандартных пунктов анкеты участника был учебник геометрии, по которому он учится. Иногда даже задачи для школьников с разными учебниками отличались.

Правда, были случаи, когда заявлять учебник не требовалось, но и при этом следование какой-то определенной аксиоматике отслеживалось. Естественно, периодически кто-нибудь (и я в том числе) пытался схитрить и в нужный момент "переключиться" с одной аксиоматики на другую. Проверяющие это исправно ловили.

Так что технически это явно возможно. В качестве члена жюри я с олимпиадами по математике дел не имел, так что могу только предполагать, но, пожалуй, дело в том, что каких-то мест, где разница приводит к содержательным следствиям, достаточно мало, и человек с соответствующим опытом их попросту знает.

[BVR]

такое вполне может случится. Называется это, вроде, "порочный круг". Все зависит от компетентности жюри. Как правило, в жюри областных олимпиад приглашаются компетентые люди. Но ведь всегда есть право на апеляцию

[sergei1961]

На мой взгляд, все школьные учебники геометрии один хуже другого и никуда не годятся. В них доказываются банальности и алгебраические вещи, когда от геометрии сразу переходят к формулам, как при применении тригонометрии в треугольнике, например. Остальное обман и иллюзии, про стереометрию вообще лучше не говорить, учебники столетней давности в сто раз и лучше.

[LionKing]

Автор поднял довольно интересную тему... Но эта тема "упирается" в не очень популярный вопрос - вопрос обоснования геометрии. Вообще, у условного ученика Антона, изучающего геометрию в школе, есть простой выбор...
Вариант №1
Антон отказывается от идеи изучения геометрии, построенной на строгой (?) аксиоматике, и мирится с тем, что почти все базовые понятия нужно понимать интуитивно, а геометрические утверждения доказывать опираясь на "здравый смысл".
Вариант №2 (если Антон очень смелый)
Антон решает во что бы то ни стало изучать геометрию во всей, так сказать, строгости.
Рассмотрим эти два варианта.
Собственно, вариант №2 не даст Антону шанса застрять в порочном кругу. Но что делать Антону, если он замахнулся на №2 ?
Во-первых, забыть про "аксиоматики", предлагаемые в Погорелове, Атанасяне и т.д. - они все равно "дырявые". Увы и ах! Часть понятий определена в них грубо, а часть не определена вообще. Даже аксиоматика Гильберта, по-сути, - голландский сыр. Есть вариант лезть сразу через линейную алгебру в аксиоматику Вейля, а есть более конструктивные варианты, рассмотренные в некоторых учебниках/монографиях (В.В. Расин - "Лекции по геометрии", Г. Шоке - "Геометрия", А. Донеддю - "Евклидова планиметрия"). В любом случае, строгое обоснование всех базовых геометрических понятий - дело сложное. Антону придется постараться!)))
Вариант №1 предпочтителен для Антона с учетом того, что он все-таки школьник. Антон может брать того же Атанасяна/Погорелова/Киселева и учить геометрию по нему. В большинстве случаев, логических дыр он просто не увидит, и ему будет казаться, что Киселев - просто образец математической строгости. В контексте варианта первого любой вопрос насчет порочных кругов лишен всякого смысла. Второй вариант их исключает!)))
С уважением, LK !

-- 11.01.2017, 18:19 --

P.S. Довольно редко захожу на этот форум, поэтому (теоретически) могу не ответить на чье-то сообщение, за что предусмотрительно извиняюсь.))) Так что, если вдруг проигнорирую - это я не со зла!)

[arseniiv]

LionKing в сообщении #1183679 писал(а):

Даже аксиоматика Гильберта, по-сути, - голландский сыр.

Вот это уже требует обоснований, т. к. он использовал её в некоторых вполне формальных доказательствах, касающихся элементарной геометрии как теории.

[LionKing]

arseniiv в сообщении #1183690 писал(а):

LionKing в сообщении #1183679 писал(а):

Даже аксиоматика Гильберта, по-сути, - голландский сыр.

Вот это уже требует обоснований, т. к. он использовал её в некоторых вполне формальных доказательствах, касающихся элементарной геометрии как теории.

Если по памяти...
Аксиоматика Гильберта не опирается ни на одну из теорий множеств и строится по принципу конечной типизации объектов (есть несколько заранее заданных типов; каждый объект, объявленный в рамках теории, обязан относится к одному из указанных типов ).
Но в теории используются "не заявленные" конструкции:
1) Бесконечная последовательность точек. Что это?
2) Совокупность точек. Что это? (См. определение луча, полуплоскости)
У меня лежит конспект по аксиоматике Гильберта - лень доставать. Там еще примеры были. Чисто по памяти больше не назову.

[SomePupil]

OlegCh в сообщении #1183324 писал(а):

И вот допустим, на какой-то олимпиаде человек решает задачу, используя те-то и те-то утверждения с этого дерева. Каждое из этих утверждений само по себе бесспорно, поскольку принадлежит этому дереву. Но ведь никто и никогда, насколько я представляю, не проверяет правильность решения задачи на последовательность используемых утверждений.

Помню один случай. Во время сборов один парень использовал свойства хорд, чтобы доказать подобие треугольников внутри окружности, и получил замечание, так как само свойство хорд выводилось из подобия этих треугольников! Как раз случай "порочного круга".

Но, думаю, такое бывает редко. Обычно школьные задачи по геометрии подразумевают вычисление некоторых величин (отрезков, углов, площадей...) или доказательство утверждений с применением известных теорем (начиная с банальных свойств биссектрис/медиан и кончая теоремами типа Чевы-Менелая, принцессы Елизаветы и т.д.) Очень трудно в таких условиях попасть в пресловутый круг.

-- 11.01.2017, 20:41 --

LionKing в сообщении #1183679 писал(а):

Есть вариант лезть сразу через линейную алгебру в аксиоматику Вейля

Отличный вариант, но хорошие преподаватели посоветовали бы Антону не делать этого, потому что хорошие преподаватели итак заставят его освоить аналгеом и линал в университете. зА год.

LionKing в сообщении #1183679 писал(а):

Вариант №1 предпочтителен для Антона с учетом того, что он все-таки школьник.

Ну, не знаю. Может быть, школьнику гораздо полезнее освоиться с понятием группы (преобразований) и, на основе программы Клейна, ознакомиться с различными геометриями.

[Munin]

Аксиомы, приведённые в Атанасяне (изд. 1992):

Цитата:

1. На каждой прямой и в каждой плоскости имеются точки.
2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой, и по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
4. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
5. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
6. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежит все общие точки этих плоскостей.
7. Из трех точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими.
8. Каждая точка $O$ прямой разделяет ее на две части — два луча — так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки $O,$ и любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки $O.$
9. Каждая прямая $a,$ лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой $a,$ а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой $a.$
10. Каждая плоскость $\alpha$ разделяет пространство на две части (два полупространства) так, что любые точки одного и того же полупространства лежат по одну сторону от плоскости $\alpha,$ а любые две точки разных полупространств лежат по разные стороны от плоскости $\alpha.$
11. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.
12. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.
13. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.
14. Два равных угла $hk$ и $h_1k_1,$ лежащие в плоскостях, являющихся границами полупространств $P$ и $P_1,$ можно совместить наложением так, что при этом совместятся полупространства $P$ и $P_1,$ причем это можно сделать двумя способами: в одном случае совместятся лучи $h$ и $h_1,$ $k$ и $k_1,$ а в другом — лучи $h$ и $k_1,$ $k$ и $h_1.$
15. Любая фигура равна самой себе.
16. Если фигура $\Phi$ равна фигуре $\Phi_1,$ то фигура $\Phi_1$ равна фигуре $\Phi.$
17. Если фигура $\Phi_1$ равна фигуре $\Phi_2,$ а фигура $\Phi_2$ равна фигуре $\Phi_3,$ то фигура $\Phi_1$ равна фигуре $\Phi_3.$
18. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.
19. При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.
20. В любой плоскости через точку, не лежащую на данной прямой этой плоскости, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Аксиомы, приведённые в Погорелове (изд. 1993, 4-е):

Цитата:

I. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
II. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
III. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
IV. Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.
V. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
VI. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
VII. От полупрямой на содержащей ее плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
VIII. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.
IX. На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
С1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
С2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
С3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

Если кто-то что-то заявляет о "дырах", то хотелось бы конкретнее. Причём, речь не об определениях, а именно об аксиомах.

[LionKing]

Munin в сообщении #1183704 писал(а):

III. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

Длина отрезка - вещественное число или рациональное? (существенный момент)

-- 11.01.2017, 19:52 --

Munin в сообщении #1183704 писал(а):

Причём, речь не об определениях, а именно об аксиомах.

Одно с другим связано.

[Metford]

(Оффтоп)

sergei1961 в сообщении #1183364 писал(а):

учебники столетней давности в сто раз и лучше

Лучше для чего?
Здесь неподходящее место для этого обсуждения, но если Вы не против, можно было бы обсудить отдельно. Потому что, в действительности, всё Ваше сообщение, часть которого я процитировал, у меня вызывает возражения. Взял это место, чтобы зацепиться.

[LionKing]

Munin в сообщении #1183704 писал(а):

15. Любая фигура равна самой себе.

Фигура? А что это?)