Бывают ли ортогональные полиномы кроме Лежандра?

[Oam]

mihiv в сообщении #1182538 писал(а):

Так может быть подойдет просто набор тригонометрических функций: $\cos 2\pi nx, \sin 2\pi nx, n=0, 1,\dots $. Ортогональность здесь есть, 1 входит в набор.

Верно, подойдет. Но для полного счастья хотелось бы еще и третье условие - $P_1(x)=x$. Т.е. когда два младших базис-вектора фиксированы, а все остальные свободны. Я это условие в самом начале обговорил, но в предыдущем объяснении упоминать его не стал, чтобы более выпукло продемонстрировать проблему, порождаемую весовой функцией. Т.к. для базис-вектора $P_0(x)=1$ она очевидна, а для $P_1(x)=x$ уже не очень.

Что касается гармонического ряда (испытывал как базис преобразования Фурье, так и базис косинусного преобразования), то аппроксимация ими линейного тренда $у=x$ выглядит ужасно - в ней участвует весь базис без остатка, а хотелось бы экономного варианта, когда такая простая функция аппроксимируется парой базисных векторов.

-- Сб янв 07, 2017 22:18:31 --

sergei1961 в сообщении #1182546 писал(а):

Тогда остаётся Грамм-Шмидт с двумя фиксированными Вами функциями и далее практически произвольный набор, хоть полиномы, хоть нет. Эти наборы устраивают, или тоже нет?

Да, именно этого я и хотел - два базис-вектора фиксированы (с самого начала ортогональны), а третий (на большее я сейчас замахиваться боюсь, чтобы не сглазить) - что-нибудь экзотическое, желательно смахивающее на гауссиану (в центре толще, чем на краях).

Однако вот в чем беда - если я добавлю к двум моим заданным базис-векторам третий (хотя бы ту же гауссиану), а затем применю ортогонализацию по Грамму-Шмидту, то ортогональный базис я получаю, но той ценой, что оба моих базис-вектора разрушаются (приобретают другую форму). А как применить Грамма-Шмидта так, чтобы младшую пару векторов (которую я решил зафиксировать) он не трогал, я не знаю как. Тем более что третий вектор, взятый наобум, сильно коррелирует с первой парой векторов. А если эту корреляцию обрезать (куда же ее еще девать, если эта пара зафиксирована?), то третий вектор превратится в ... третий вектор Лежандра!

-- Сб янв 07, 2017 22:29:54 --

Slav-27 в сообщении #1182476 писал(а):

Вместо $P_3$ и $P_4$ читайте $L_3$ и $L_4$: это многочлены Лежандра (обычные) нормированные на единицу.
Вы можете сделать, например, так: $P_0=L_0$, $P_1=L_1$, $P_2=\frac1{\sqrt2}(L_2+L_3)$, $P_3=\frac1{\sqrt2}(L_2-L_3)$, $P_n=L_n$ при $n\geqslant 4$. Хвост можно портить дальше.

Спасибо, вашу идею понял. В самом деле, можно совершать повороты на любой угол в любых плоскостях, перпендикулярных плоскости, образуемой парой векторов $P_0 - P_1$. Эта операция, кажется, носит название "плоское вращение Гивенса". В матричной алгебре это парная операция между парой столбцов. И если столбцы, принадлежащие двум младшим базис-векторам, не трогать, то они действительно сохранятся, тогда как старшие базис-вектора "поплывут". Ортогональность системы при этой операции сохраняется.

[ewert]

Oam в сообщении #1182551 писал(а):

Но для полного счастья хотелось бы еще и третье условие - $P_1(x)=x$.

Да далсЯ Вам этот икс. Возьмите лучше вместо него экспоненту. Просто чистую экспоненту. Замечательная ведь функция -- и с замечательными свойствами!

А в качестве начальной -- функцию Макдональда. Тоже очень хорошая функция.

Собственно, уже на первой страничке стало ясно, что Вы троллите. На второй это стало очевидным. Ну а тут, на третьей -- уже и неинтересным.

[Oam]

ewert в сообщении #1182561 писал(а):

Собственно, уже на первой страничке стало ясно, что Вы троллите. На второй это стало очевидным. Ну а тут, на третьей -- уже и неинтересным.

Ну зачем вы так... Извините, если что.

[ewert]

Oam в сообщении #1182564 писал(а):

Ну зачем вы так... Извините, если что.

Это, кстати -- ещё один признак. Заведомо бессмысленный пост. Поскольку первая фраза заведомо не требует никаких дальнейших извинений. А вот для троллей -- сочетание типично.

[Oam]

ewert в сообщении #1182567 писал(а):

Это, кстати -- ещё один признак. Заведомо бессмысленный пост. Поскольку первая фраза заведомо не требует никаких дальнейших извинений. А вот для троллей -- сочетание типично.

К вашему сведению, я на этом форуме уже как 10 лет зарегистрирован (на 2 года раньше вас). И если бы был я троллем, то за это время успел бы всем надоесть. А что пишу сюда редко, то только потому, что свои проблемы привык решать сам. Но в данном случае мне потребовал совет математика, т.к. сам я не математик.

[sergei1961]

Про ортогонализацию по Г-Ш. Да выберем две первых Ваших функции, 1 и x. Они ортогональны, не надо их уже ортогонализировать. Процесс начнём с третьей-любой. Будут три, две первых-как Вы хотите, и все друг другу ортогональны. Две первые не испортятся, не бойтесь, - я вот про что.

[ewert]

(Оффтоп)

Oam в сообщении #1182583 писал(а):

И если бы был я троллем, то за это время успел бы всем надоесть.

Ну вот мне лично Вы надоели гораздо раньше. Ибо за три странички не уметь сформулировать вопрос -- это надо уметь. Чего Вам нужно-то, -- чего Вы собственно добиваетесь?...

Пока что от Вас никаких сообщений на этот счёт не поступало. Да, Вам хочется какого-то святого Грааля. Да, какой-то мистической ортогональности. Но вот с какой стати хочется, и на какого хрена -- вот этих сообщений не поступало ни разу.

А раз не поступало сообщений -- то как и относиться к Вам, извините?...

[DeBill]

Oam
Можно рассмотреть гибридную систему: четные функции - из тригонометрической, и нечетные - из Лежандра.
Она ортогональна (на симметричном отрезке - четные ортогональны нечетным), полна - из-за возможности четного-нечетного продолжения, содержит единичку и "икс", и даже все расчетные формулы сохранятся.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Чего-то с меня фуражка прапорщика Ясненько, старшины роты к-на Очевидность, спадает...

Так ведь тождественно равная единице весовая функция - она тоже весовая функция.