Производная от потенциала по нормали

[netang]

Здравствуйте. Хочу кое-что понять.
Дано потенциальное течение. Жидкость несжимаемая. В определенный момент в определенных точках я знаю значения потенциала в этих точках. Можно ли получить значения производной потенциала по нормали в этих точках решая задачу Дирихле для уравнения Лапласа?

[Vince Diesel]

Подразумеваете ли вы под написанным что

1) есть стационарное течение жидкости, задаваемое вектором скорости $\bar v$;

2) есть потенциальная функция $U(x,y)$, такая, что $\operatorname{grad} U=\bar v$, $\Delta U=0$;

3) на гладкой границе $S$ некоторой ограниченной области $\Omega$ задана функция $U_0$;

4) решается задача Дирихле $\DeltaU=0$, $U|_S=U_0$ и нужна производная по нормали $\frac{\partial U}{\partial \bar n}$ на $S$?

Ну и до кучи, что у вас означают слова "можно ли получить значения"? Кому можно, зачем можно? За исключением отдельных случаев решение задачи Дирихле и его нормальную производную найти можно только осторожно численно.

[netang]

Vince Diesel в сообщении #1182250 писал(а):

1) есть стационарное течение жидкости, задаваемое вектором скорости $\bar v$;

Нет, в разных точках в одно и то же время могут быть разные скорости жидкости.

Vince Diesel в сообщении #1182250 писал(а):

2) есть потенциальная функция $U(x,y)$, такая, что $\operatorname{grad} U=\bar v$, $\Delta U=0$;

Да, течение потенциальное, описывается потенциалом.

Vince Diesel в сообщении #1182250 писал(а):

3) на гладкой границе $S$ некоторой ограниченной области $\Omega$ задана функция $U_0$;

Да, есть замкнутая область, на которой известны начальные значения потенциала.

Vince Diesel в сообщении #1182250 писал(а):

4) решается задача Дирихле $\DeltaU=0$, $U|_S=U_0$ и нужна производная по нормали $\frac{\partial U}{\partial \bar n}$ на $S$?

Да, всё так.

Vince Diesel в сообщении #1182250 писал(а):

Ну и до кучи, что у вас означают слова "можно ли получить значения"?

Имел в виду "возможно ли получить значения" (с учётом того, что было написано до вопроса).

Vince Diesel в сообщении #1182250 писал(а):

За исключением отдельных случаев решение задачи Дирихле и его нормальную производную найти можно только осторожно численно.

Я численно решаю.

Посмотрел, можно записать граничные интегральные уравнения, решить СЛАУ и получить значения производной по нормали.

[Pphantom]

netang в сообщении #1182301 писал(а):

Нет, в разных точках в одно и то же время могут быть разные скорости жидкости.

Стационарное течение - это не течение с постоянной везде скоростью, это течение, скорость которого в каждой точке не зависит от времени, $\vec v = \vec v (\vec r)$.

[netang]

Pphantom в сообщении #1182308 писал(а):

Стационарное течение - это не течение с постоянной везде скоростью, это течение, скорость которого в каждой точке не зависит от времени, $\vec v = \vec v (\vec r)$.

Ой, ошибся. У меня не стационарное течение, -- в определенной точке скорость может меняться со временем. А почему спрашивалось про стационарное течение? Я потенциал обновляю через интеграл Коши-Лагранжа. Точнее у меня он в системе дифуров присутствует.

[Vince Diesel]

Т.е. имеется зависимость гармонической по $x,y$ функции $U$ от параметра $t$, но в задаче Дирихле он фиксирован, так что постановка не мменяется?

Если есть решение задачи Дирихле, в виде, скажем, потенциала простого слоя, то можно воспользоваться формулой скачка для нормальной производной на поверхности. Если в виде какого-то другого потенциала, то можно взять точку области достаточно близкую к поверхности и просто продифференцировать потенциал. Получится какое-то приближение нормальной производной.

[netang]

Vince Diesel в сообщении #1182321 писал(а):

но в задаче Дирихле он фиксирован, так что постановка не меняется?

Постановка не меняется, т.к. в задаче, которую я решаю, меняется область $S$ со временем (я сам передвигаю узлы). Узлы могут возвращаться на место (приблизительно на тоже самое), но при этом вектор скорости будет отличаться от того, который был в этой точке некоторое время назад.

Vince Diesel в сообщении #1182321 писал(а):

формулой скачка для нормальной производной

А что это такое?

Еще такой вопрос. Допустим, все исходные условия остаются теми же и у меня есть области $S_1$ и $S_2$. Узлы, задающие область $S_1$ могут передвигаться относительно друг друга, а узлы области $S_2$ закреплены относительно друг друга. Можно ли зная значения потенциала в узлах $S_1$ найти значения потенцала в узлах $S_2$?

[Vince Diesel]

netang в сообщении #1182328 писал(а):

А что это такое?

Это надо какую-нибудь книжку по УРЧП посмотреть, например, Тихонова Самарского. Поиск находит, напрмер, это. Но там трехмерный случай. На плоскости фундаментальное решение $C_1/r$ поменяется на $C_2 \ln r$.

netang в сообщении #1182328 писал(а):

Можно ли зная значения потенциала в узлах $S_1$ найти значения потенцала в узлах $S_2$?

Если поверхность $S_2$ лежит внутри $S_1$, то можно, если нет, то нельзя. Решение внешней задачи Дирихле не определяется однозначно значениями гармонической функции на $S_1$.