Матрицы и комплексные числа.

[Профессор Снэйп]

Brukvalub писал(а):

Echo-Off писал(а):

И основная теорема алгебры доказывается хорошо?

А разве она внутренними средствами алгебры вообще доказывается?

В книге С. Ленга можно найти доказательство Артина. Оно использует только следующие "неалгебраические" факты:

1) $\mathbb{R}$ есть упорядоченное поле, каждый положительный элемент которого является квадратом;

2) каждый многочлен нечётной степени с действительными коэффициентами имеет корень в $\mathbb{R}$.

Любой из этих фактов легко доказывается средствами матанализа, а вот что касается "чистой алгебры"... вряд ли ею можно обойтись.

[Echo-Off]

Профессор Снэйп писал(а):

каждый положительный элемент которого является квадратом

Квадратом чего? Рационального числа?

[ET]

Echo-Off писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

каждый положительный элемент которого является квадратом

Квадратом чего? Рационального числа?

Если внимательно посмотреть на исходную формулировку то понятно, что квадратом числа из $\mathbb{R}$

[Echo-Off]

аа, понял
мне вначале показалось, что первый пункт звучит как "в $\mathbb{R}$ есть упорядоченное поле..."

[Коровьев]

worm2 писал(а):

Для школьников это будет интересным и неочевидным. А если ещё кватернионы привлечь --- так вообще песня.

До кучи.
МАтрицы и кватернионы.

$$ A=\left( \begin{array}{cc} a+bj & c+dj \\ c-dj & a-bj \end{array} \right) =aE+bI+cJ+dK $$

,
Где

$$ E=\left( \begin{array}{cc} 1& 0\\ 0 & 1 \end{array} \right) $$

,

$$ I=\left( \begin{array}{cc} j& 0\\ 0 & -j \end{array} \right) $$

,

$$ J=\left( \begin{array}{cc} 0& 1\\ -1 & 0 \end{array} \right) $$

,

$$ K=\left( \begin{array}{cc} 0& j\\ j &0 \end{array} \right) $$

,
Тогда
$I^2=J^2=K^2=-E$
$IJ=-JI=K$
$JK=-KJ=I$
$KI=-IK=J$
$ \mid A \mid =a^2+b^2+c^2+d^2$
Сумма/произведение матриц такого вида есть матрица такого же вида.
Из всего сказанного следует, что такие матрицы реализуют алгебру кватернионов.

[worm2]

Я имел в виду немножко другое представление, в виде действительных матриц 4x4:

$$ a+bi+cj+dk=\left( \begin{array}{cccc} a & b & c & d\\ -b & a & -d & c\\ -c & d & a & -b\\ -d & -c & b & a \end{array}\right) $$