Односторонние и обыкновенные пределы

[Roman___]

В любом определении предела функции в точке, предполагается, что точка является предельной для множества определения этой функции. Затем говорится, что для существования предела в точке необходимо и достаточно существования и равенства между собой обоих двусторонних пределов в этой же точке. Рассмотрим любую постоянную функцию $f(x)$ на $[0, 1]$. Точка $0$ - предельная для отрезка. Предел в этой точке существует, но нет левостороннего предела, т.к. $0$ не является предельной точкой для $[0, 1]\cap(-\infty, 0)$. В чем ошибка?

[Slav-27]

Roman___ в сообщении #1181759 писал(а):

$0$ не является предельной точкой для $[0, 1]\cap(-\infty, 0)$.

Является.

Пишите формулы нормально (посмотрите, как я исправил в цитате) -- и вас удобно будет цитировать.

Lia: Да, пожалуйста. А нам не придется править.

[Roman___]

Спасибо за исправление.
Почему является, если пересечение пусто? Замыкание пустого множества - пустое множество, значит $0$ - не предельная точка.

[Brukvalub]

Roman___, выпишите здесь определение предельной точки.

[ewert]

Roman___ в сообщении #1181759 писал(а):

В любом определении предела функции в точке, предполагается, что точка является предельной для множества определения этой функции.

Не в любом определении. Во многих предполагается, что функция определена тупо в выколотой окрестности этой точки или хотя бы в односторонней выколотой. Поскольку для подавляющего большинства приложений этого и достаточно.

Roman___ в сообщении #1181759 писал(а):

Предел в этой точке существует, но нет левостороннего предела, т.к. $0$ не является предельной точкой для $[0, 1]\cap(-\infty, 0)$. В чем ошибка?

Ну попросту эту ситуацию теорема о равенстве лево- и правосторонних пределах не охватывает, вот и всё. Соотв., и никаких ошибок.

Вы удивитесь, но такие ситуации типичны. Для функций нескольких (ну хотя бы двух) переменных понятие одностороннего предела вообще лишено хоть какого-то практического смысла. Просто потому, что понятие координат -- условно (геометрически не инвариантно). В отличие от понятия предела вообще.

[Roman___]

Brukvalub в сообщении #1181769 писал(а):

Roman___, выпишите здесь определение предельной точки.

На $\mathbb{R}$ такое: $X \subset \mathbb{R} \forall U(x): U(x) \cap X \ne \varnothing $ ($U(x)$ - проколотая окрестность $x$)
ewert, спасибо! В общем я так и рассуждал, но есть определения, например, как здесь https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1 ... 0%BA%D0%B0 , да и во многих других местах, где не предполагается, что функция задана в проколотой окрестности точки, а только предельность этой точки. А дальше утвержается та теорема о равенстве пределов. Пока что единственное корректное определение этой теоремы видел в Фихтегольце (там явно требуется, чтобы точка была предельной справа и слева одновременно), а в Зориче она вообще не рассматривается, если память не изменяет. Надо будет глянуть в других учебниках.

[Brukvalub]

Roman___ в сообщении #1181790 писал(а):

На $\mathbb{R}$ такое: $X \subset \mathbb{R} $\forall$ U(x): U(x) \cap X \ne \varnothing $ ($U(x)$ - проколотая окрестность $x$)

Это не определение, а кусок чего-то там. Видимо, вы правильного определения не знаете, поэтому и путаетесь в отыскании предельных точек.

[ewert]

Roman___ в сообщении #1181790 писал(а):

Пока что единственное корректное определение этой теоремы видел в Фихтегольце (там явно требуется, чтобы точка была предельной справа и слева одновременно),

Это некоторая ловля блох. Естественно, для определения односторонних пределов нужно, чтобы с каждой стороны существовала какая-то часть области определения, для которой эта точка была бы предельной. Однако на практике никому эта возня с областями определения не нужна.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Доллар в начале формулы. Доллар в конце. В середине - не надо.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

GAA:

Вернул.

[Roman___]

Brukvalub в сообщении #1181794 писал(а):

Это не определение, а кусок чего-то там. Видимо, вы правильного определения не знаете, поэтому и путаетесь в отыскании предельных точек.

Обычное определение для числового множества.

ewert в сообщении #1181798 писал(а):

Это некоторая ловля блох. Естественно, для определения односторонних пределов нужно, чтобы с каждой стороны существовала какая-то часть области определения, для которой эта точка была бы предельной. Однако на практике никому эта возня с областями определения не нужна.

Любая точная формулировка теоремы - ловля блох. Если функция достаточно хороша, то это должно указываться в условиях, иначе теорема просто неверна. Такой типичный пример из учебника, как функция Дирихле, тоже, по сути, ловля блох в определении непрерывности, однако для полного понимания этого определения именно эти кривые примеры и нужны.

[Slav-27]

Roman___
Определение такое: $x$ -- предельная точка множества $X\subset \mathbb R$, если любая проколотая окрестность точки $x$ в $\mathbb R$ содержит точки из $X$. А вы написали, действительно, что-то непонятное.

[Brukvalub]

Roman___ в сообщении #1181825 писал(а):

Любая точная формулировка теоремы - ловля блох. Если функция достаточно хороша, то это должно указываться в условиях, иначе теорема просто неверна. Такой типичный пример из учебника, как функция Дирихле, тоже, по сути, ловля блох в определении непрерывности

Может, вам сразу хфилософией заняться? У вас получается!

[ewert]

Roman___ в сообщении #1181825 писал(а):

Любая точная формулировка теоремы - ловля блох.

Речь вовсе не о точности, а о нужности. В обычном анализе совсем произвольные области определения, в общем, не нужны. А точными (как и неточными) могут быть формулировки что общие, что частные -- с равным успехом. При этом общие (пусть и предельно точные) могут оказаться вредны попросту потому, что рассеивают внимание.