Определитель матрицы из случайных величин

[Markiyan Hirnyk]

Найти в замкнутом виде плотность распределения определителя квадратной матрицы порядка два, элементами которой являются независимые в совокупности одинаково распределенные нормальные случайные величины с параметрами $0$ и $1$.

[Markiyan Hirnyk]

Понятно, что определитель можно заменить перманентом. Олимпиадная задача происходит из физики.

[DeBill]

Я полагаю, что искомая плотность дается формулой $p(t)=\frac{1}{\pi^2} D(t)$, где $D(t) $ - специальная функция D'Billy (ее преобразование Лапласа $\hat{D}(p)$ равно $\frac{\ln^2(p+\sqrt{p^2-1})}{p^2-1}$).
Вот только я не уверен, можно ли такой ответ считать ответом в замкнутой форме? (А почему - нет: она выражается через интегральную функцию $Ki$, которая выражается через интеграл от $K$- функции, которая выражается через $H^{(1)}$-функцию, которая выражается через функции Бесселя, которые задаются суммой степенных рядов, коэфф-ты которых выражаются спокойно через гамма-функцию...)

[Markiyan Hirnyk]

DeBill в сообщении #1180979 писал(а):

Я полагаю, что искомая плотность дается формулой $p(t)=\frac{1}{\pi^2} D(t)$, где $D(t) $ - специальная функция D'Billy (ее преобразование Лапласа $\hat{D}(p)$ равно $\frac{\ln^2(p+\sqrt{p^2-1})}{p^2-1}$).
Вот только я не уверен, можно ли такой ответ считать ответом в замкнутой форме? (А почему - нет: она выражается через интегральную функцию $Ki$, которая выражается через интеграл от $K$- функции, которая выражается через $H^{(1)}$-функцию, которая выражается через функции Бесселя, которые задаются суммой степенных рядов, коэфф-ты которых выражаются спокойно через гамма-функцию...)

Пожалуйста, обоснуйте Ваше предположение, приведя, в частности, доступную ссылку на $D(t) $ - специальную функцию D'Billy. Сумма ряда не является выражением в замкнутом виде (см. Вики ).

[Rak so dna]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1180986 писал(а):

...приведя, в частности, доступную ссылку на $D(t) $ - специальную функцию D'Billy

Что-то подсказывает, что $D(t)$ не что иное, как специальная функция DeBill-а

[--mS--]

А это точно олимпиадная задача?

Пусть $\xi_1,\ldots,\xi_4$ - независимые стандартные нормальные, $\eta=\xi_1\xi_2-\xi_3\xi_4$. И пусть $\xi_1=\frac{X+Y}{\sqrt2}$, $\xi_2=\frac{X-Y}{\sqrt2}$, $\xi_3=\frac{U+V}{\sqrt2}$, $\xi_4=\frac{U-V}{\sqrt2}$. Соответственно, $\eta=\frac{X^2+V^2}{2}-\frac{Y^2+U^2}{2}$ имеет распределение Лапласа с плотностью $f_\eta(x)=\frac12 \exp(-|x|)$.

[Markiyan Hirnyk]

Пожалуйста, обоснуйте Ваше утверждение об $\eta$.

[--mS--]

Зачем? Может быть, теме следует быть в "помогите решить/разобраться"?

$X, Y, U, V$ - независимые в совокупности стандартные нормальные величины, $X^2+V^2$ и $Y^2+U^2$ - независимые величины с распределением $\chi^2_2=\Gamma_{\frac12,\, 1}$. После деления на два обе дроби имеют показательное с параметром $1$ распределение. Разность которых - распределение Лапласа.

[Markiyan Hirnyk]

Цитата:

Разность которых - распределение Лапласа.

Пожалуйста, обоснуйте это место Ваших рассуждений. Предыдущее мне понятно.

[Lia]

Характеристические функции, например, посчитайте. Это действительно уже не олимпиадного уровня вопрос.

[Markiyan Hirnyk]

Цитата:

Характеристические функции, например, посчитайте. Это действительно уже не олимпиадного уровня вопрос.

Это олимпиадная задача. Много лет лет тому назад мне удалось решить ее, применяя сведения из стандартных университетских курсов анализа и теории вероятностей без применения характеристических функций.

[Lia]

Очень хорошо. :) Правда, характеристические функции входят в стандартный курс (для математиков) теории вероятностей, равно как и преобразования Фурье в курсах анализа или причастных к ним. Но Вам же никто не запрещает делиться, как Вы решили.

С Наступающим, кстати. :)

(И без применения характеристических функций заинтересовавший Вас последний результат без труда доказывается, причем что он будет именно такой, ясно даже из графических соображений. Это уже тяжелая артиллерия, для убедительности, характеристические функции. Да и быстрее всего.)

[Markiyan Hirnyk]

Плотность произведения стандартных нормальных распределений выражается через некоторый интеграл. Для нахождения плотности суммы таких произведений используем свертку. В предположении, что аргумент плотности положителен, в повторном интеграле меняем порядок интегрирования и тогда он считается. Насколько я понимаю, DeBill шел по этому пути, но не проявил должной отваги мысли.

[DeBill]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1181132 писал(а):

DeBill шел по этому пути, но

...
И мне не помогла даже моя спецфункция...
--mS-- Кайф!!!

С Новым годом!

[--mS--]

DeBill в сообщении #1181142 писал(а):

--mS-- Кайф!!!

Спасибо, мне самой понравилось С наступающим!