2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Определитель матрицы из случайных величин
Сообщение30.12.2016, 06:58 
Найти в замкнутом виде плотность распределения определителя квадратной матрицы порядка два, элементами которой являются независимые в совокупности одинаково распределенные нормальные случайные величины с параметрами $0$ и $1$.

 
 
 
 Re: Определитель матрицы из случайных величин
Сообщение30.12.2016, 08:30 
Понятно, что определитель можно заменить перманентом. Олимпиадная задача происходит из физики.

 
 
 
 Re: Определитель матрицы из случайных величин
Сообщение30.12.2016, 12:16 
Я полагаю, что искомая плотность дается формулой $p(t)=\frac{1}{\pi^2} D(t)$, где $D(t) $ - специальная функция D'Billy (ее преобразование Лапласа $\hat{D}(p)$ равно $\frac{\ln^2(p+\sqrt{p^2-1})}{p^2-1}$).
Вот только я не уверен, можно ли такой ответ считать ответом в замкнутой форме? (А почему - нет: она выражается через интегральную функцию $Ki$, которая выражается через интеграл от $K$- функции, которая выражается через $H^{(1)}$-функцию, которая выражается через функции Бесселя, которые задаются суммой степенных рядов, коэфф-ты которых выражаются спокойно через гамма-функцию...)

 
 
 
 Re: Определитель матрицы из случайных величин
Сообщение30.12.2016, 12:47 
DeBill в сообщении #1180979 писал(а):
Я полагаю, что искомая плотность дается формулой $p(t)=\frac{1}{\pi^2} D(t)$, где $D(t) $ - специальная функция D'Billy (ее преобразование Лапласа $\hat{D}(p)$ равно $\frac{\ln^2(p+\sqrt{p^2-1})}{p^2-1}$).
Вот только я не уверен, можно ли такой ответ считать ответом в замкнутой форме? (А почему - нет: она выражается через интегральную функцию $Ki$, которая выражается через интеграл от $K$- функции, которая выражается через $H^{(1)}$-функцию, которая выражается через функции Бесселя, которые задаются суммой степенных рядов, коэфф-ты которых выражаются спокойно через гамма-функцию...)

Пожалуйста, обоснуйте Ваше предположение, приведя, в частности, доступную ссылку на $D(t) $ - специальную функцию D'Billy. Сумма ряда не является выражением в замкнутом виде (см. Вики ).

 
 
 
 Re: Определитель матрицы из случайных величин
Сообщение30.12.2016, 13:59 
Аватара пользователя
Markiyan Hirnyk в сообщении #1180986 писал(а):
...приведя, в частности, доступную ссылку на $D(t) $ - специальную функцию D'Billy
Что-то подсказывает, что $D(t)$ не что иное, как специальная функция DeBill:lol:

 
 
 
 Re: Определитель матрицы из случайных величин
Сообщение30.12.2016, 23:03 
Аватара пользователя
А это точно олимпиадная задача?

Пусть $\xi_1,\ldots,\xi_4$ - независимые стандартные нормальные, $\eta=\xi_1\xi_2-\xi_3\xi_4$. И пусть $\xi_1=\frac{X+Y}{\sqrt2}$, $\xi_2=\frac{X-Y}{\sqrt2}$, $\xi_3=\frac{U+V}{\sqrt2}$, $\xi_4=\frac{U-V}{\sqrt2}$. Соответственно, $\eta=\frac{X^2+V^2}{2}-\frac{Y^2+U^2}{2}$ имеет распределение Лапласа с плотностью $f_\eta(x)=\frac12 \exp(-|x|)$.

 
 
 
 Re: Определитель матрицы из случайных величин
Сообщение31.12.2016, 07:02 
Пожалуйста, обоснуйте Ваше утверждение об $\eta$.

 
 
 
 Re: Определитель матрицы из случайных величин
Сообщение31.12.2016, 08:24 
Аватара пользователя
Зачем? Может быть, теме следует быть в "помогите решить/разобраться"?

$X, Y, U, V$ - независимые в совокупности стандартные нормальные величины, $X^2+V^2$ и $Y^2+U^2$ - независимые величины с распределением $\chi^2_2=\Gamma_{\frac12,\, 1}$. После деления на два обе дроби имеют показательное с параметром $1$ распределение. Разность которых - распределение Лапласа.

 
 
 
 Re: Определитель матрицы из случайных величин
Сообщение31.12.2016, 08:36 
Цитата:
Разность которых - распределение Лапласа.

Пожалуйста, обоснуйте это место Ваших рассуждений. Предыдущее мне понятно.

 
 
 
 Re: Определитель матрицы из случайных величин
Сообщение31.12.2016, 08:54 
Характеристические функции, например, посчитайте. Это действительно уже не олимпиадного уровня вопрос.

 
 
 
 Re: Определитель матрицы из случайных величин
Сообщение31.12.2016, 09:09 
Цитата:
Характеристические функции, например, посчитайте. Это действительно уже не олимпиадного уровня вопрос.

Это олимпиадная задача. Много лет лет тому назад мне удалось решить ее, применяя сведения из стандартных университетских курсов анализа и теории вероятностей без применения характеристических функций.

 
 
 
 Re: Определитель матрицы из случайных величин
Сообщение31.12.2016, 09:13 
Очень хорошо. :) Правда, характеристические функции входят в стандартный курс (для математиков) теории вероятностей, равно как и преобразования Фурье в курсах анализа или причастных к ним. Но Вам же никто не запрещает делиться, как Вы решили.

С Наступающим, кстати. :)

(И без применения характеристических функций заинтересовавший Вас последний результат без труда доказывается, причем что он будет именно такой, ясно даже из графических соображений. Это уже тяжелая артиллерия, для убедительности, характеристические функции. Да и быстрее всего.)

 
 
 
 Re: Определитель матрицы из случайных величин
Сообщение31.12.2016, 09:24 
Плотность произведения стандартных нормальных распределений выражается через некоторый интеграл. Для нахождения плотности суммы таких произведений используем свертку. В предположении, что аргумент плотности положителен, в повторном интеграле меняем порядок интегрирования и тогда он считается. Насколько я понимаю, DeBill шел по этому пути, но не проявил должной отваги мысли.

 
 
 
 Re: Определитель матрицы из случайных величин
Сообщение31.12.2016, 11:28 
Markiyan Hirnyk в сообщении #1181132 писал(а):
DeBill шел по этому пути, но
...
И мне не помогла даже моя спецфункция...
--mS-- Кайф!!! :!:

С Новым годом!

 
 
 
 Re: Определитель матрицы из случайных величин
Сообщение31.12.2016, 13:34 
Аватара пользователя
DeBill в сообщении #1181142 писал(а):
--mS-- Кайф!!! :!:

Спасибо, мне самой понравилось :mrgreen: С наступающим!

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group