Доказательство из топологии

[gogoshik]

Я тут решил самостоятельно позаниматься топологией :). И встрял! Начало интересное, по сути это какая-то специализированная теория множеств, так объяснил один лектор. Со множествами я знаком.

Посмотрел видеолекции, начал читать литературу. И запнулся на такой задаче. Доказать что если одно множество $A$ включается в другое $B$, то внутренность $A$ включается во внутренность $B$ и замыкание $A$ включается в замыкание $B$.

Я и так все вроде понял на словах. Я даже нарисовал картинки с кругами Эйлера. У меня получился круг $A$ внутри $B$. Очевидно что все внутренние точки (без границы) круга $A$ содержаться внутри круга $B$, а именно внутри внутренней области круга $B$ без его границы (окружности). Но доказать как не знаю!

Я придумал кое-что но не знаю пока как это правильно написать.

Помогите с доказательством, плиз!

[Anton_Peplov]

Давайте по порядку, с наводящими вопросами. Что такое внутренняя точка множества $A$?

[gogoshik]

Было такое определение: эта точка множества окрестность которой лежит внутри этого множества. Спасибо что помогаете!

[Anton_Peplov]

Правильно. Итак, пусть $x$ - внутренняя точка множества $A$. По определению, у нее есть окрестность $O_x$ такая, что $O_x \subset A$. Но по условию $A \subset B$. Что из этого следует?

[gogoshik]

Я думаю что из этого следует что окрестность точки принадлежит и множеству $B$. Это мне очевидно. А как сделать переход во внутренность самого $B$, ведь $B$ это не внутренность, а что то больше (внутренность с границей)?

[Anton_Peplov]

gogoshik в сообщении #1180794 писал(а):

Я думаю что из этого следует что окрестность точки принадлежит и множеству $B$.

Правильно. Итак, мы получили, что у точки $x$ есть окрестность, целиком лежащая в $B$. Что из этого следует по определению внутренней точки?

[gogoshik]

По определению из этого следует что эта точка является внутренней точкой и для $B$. Но это же еще не полное доказательство! Или полное доказательство? В задаче говорится про внутренность $B$, а там может и не быть точки из $A$, есть такая часть внутренности $B$ которая не содержит точек $A$. Может я чего то не понимаю!

[Anton_Peplov]

gogoshik в сообщении #1180788 писал(а):

Доказать что если одно множество $A$ включается в другое $B$, то внутренность $A$ включается во внутренность $B$

Это мы доказали или нет?

[gogoshik]

Думаю нет. Мы доказали что внутренность $A$ включена просто в $B$!

[arseniiv]

gogoshik в сообщении #1180788 писал(а):

Я даже нарисовал картинки с кругами Эйлера.

На одних кругах Эйлера не получится показать, т. к., понимаемые обычным образом, они иллюстрируют только структуру булевой алгебры на множествах, а «топологические отношения» через неё невыразимы. Чтобы с ними можно было что-то сделать, надо будет рисовать вместе и множества, и их, например, замыкания, внутренности или границы. Но этого недостаточно, т. к. без теорем, подобных той, которую вы доказывали здесь, результаты можно будет получить только слишком общие.

Вообще надо определиться, исходите ли вы из аксиом (и каких) топологии или чего-то другого, а то так можно будет намотать кругов и выводить что-то неявно из себя самого. Если начинать от аксиом Куратовского:

$$\begin{array}{ll} 1.& \overline\varnothing = \varnothing, \\ 2.& A\subset\overline A, \\ 3.& \overline{A\cup B} = \overline A\cup\overline B, \\ 4.& \overline{\overline A} = \overline A \end{array}$$

и определения $A^\circ = X\setminus\overline{X\setminus A}$, где $X$ — всё пространство, доказательство будет весьма незатейливым:

$$A\subset B \Leftrightarrow B = A\cup B \Rightarrow \overline B = \overline{A\cup B} = \overline A\cup\overline B \Leftrightarrow \overline A\subset\overline B.$$

Ну а с внутренностью сами.

[Anton_Peplov]

gogoshik в сообщении #1180808 писал(а):

Думаю нет. Мы доказали что внутренность $A$ включена просто в $B$!

А что такое внутренность $B$?

[Munin]

gogoshik в сообщении #1180788 писал(а):

Я тут решил самостоятельно позаниматься топологией :). И встрял! Начало интересное, по сути это какая-то специализированная теория множеств, так объяснил один лектор.

Есть две топологии. Одна называется "общая топология", а другая - по-разному: "алгебраическая топология", "дифференциальная топология", иногда упоминается "комбинаторная топология", "гомотопическая", "гомологическая" - это всё подразделы алгебраической.

То, что рассказывают в популярных книжках про ленту Мёбиуса и бутылку Клейна - это алгебраическая топология. Обычно именно после этого людям интересно, а что это за топология вообще, и хочется её почитать.

А "по сути специализированная теория множеств" - это общая топология.

Общая топология как курс идёт перед алгебраической. Но некоторые вещи, если вы понимаете их "на пальцах" (например, что означает "не рвать и не склеивать", и наоборот, "склеить"), можно просто пропустить, и читать сразу алг. топологию. Лучше всего "книжку с картинками", где побольше наглядных пояснений.

Если не пропускать, то можно "утонуть" в общей топологии, и так и не добраться до желанной алгебраической.

[arseniiv]

Munin
Я вас удивлю, но иногда желанна общая топология. Впрочем, статистика, видимо, не на моей стороне.

[Munin]

Ок. Я только пояснил, что это две разные науки, в разных учебниках (и в разных курсах видеолекций).

Например, в алгебраической топологии обычно рассматриваются множества, не задействующие весь мощный аппарат общей топологии, а локально устроенные как $\mathbb{R}^n$ - то есть, то, что вполне известно со школы. Или как склейки или разрезы над этими $\mathbb{R}^n.$

[пианист]

(Оффтоп)

В книжечке воспоминаний А.А. Болибруха рассказывается про забавный эпизод.
Александров (кажется, он) на экзаменах в аспирантуру алгебраического тополога Болибруха спросил про компактности, а общих топологов, напротив, стал спрашивать про всякое гомологическое.
Ну, результат был немного предсказуем ;)