Отношение отрезков через базис

[Rusit8800]

Задача: На сторонах $AB,BC,AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $M,N,K$ соответственно. $O = BK \cap MN$. Известно, что $\frac{{OK}}{{BO}} = \frac{{{n_3}}}{{{m_3}}},\frac{{ON}}{{OM}} = \frac{{{n_2}}}{{{m_2}}},\frac{{KC}}{{AK}} = \frac{{{n_1}}}{{{m_1}}}$. Найти ${k_1} = \frac{{AB}}{{MB}},{k_2} = \frac{{BC}}{{BN}}$.
Вот мое решение:
Пусть $\overrightarrow {BM} = \overrightarrow a $ и $\overrightarrow {BN} = \overrightarrow b $ - базисные вектора. Пользуясь известной ключевой задачей о формуле вектора, делящего стороны на известные отношения, имеем:

$$\overrightarrow {BK} = \frac{{{n_3} + {m_3}}}{{{m_3}}}\overrightarrow {BO} = \frac{{{n_3} + {m_3}}}{{{m_3}}} \cdot \frac{{{m_2}\overrightarrow b + {n_2}\overrightarrow a }}{{{n_2} + {m_2}}} = \frac{{{n_3} + {m_3}}}{{{n_2} + {m_2}}} \cdot \frac{{{m_2}}}{{{m_3}}} \cdot \overrightarrow b + \frac{{{n_3} + {m_3}}}{{{n_2} + {m_2}}} \cdot \frac{{{n_2}}}{{{m_3}}} \cdot \overrightarrow a $$

C другой стороны:

$$\overrightarrow {BK} = \frac{{{m_1}{k_2}\overrightarrow b + {n_1}{k_1}\overrightarrow a }}{{{m_1} + {n_1}}} = \frac{{{m_1}{k_2}}}{{{m_1} + {n_1}}}\overrightarrow b + \frac{{{n_1}{k_1}}}{{{m_1} + {n_1}}}\overrightarrow a $$

Приравнивая коэффициенты разложения по базисам, имеем:

$$\left\{ \matrix \frac{{{m_1}{k_2}}}{{{m_1} + {n_1}}} = \frac{{{n_3} + {m_3}}}{{{n_2} + {m_2}}} \cdot \frac{{{m_2}}}{{{m_3}}}; \hfill \cr \frac{{{n_1}{k_1}}}{{{m_1} + {n_1}}} = \frac{{{n_3} + {m_3}}}{{{n_2} + {m_2}}} \cdot \frac{{{m_2}}}{{{m_3}}} \hfill \cr \endmatrix \right. \Leftrightarrow $$

$$\left\{ \matrix {k_1} = \frac{{({m_1} + {n_1})({n_3} + {m_3}){n_2}}}{{{n_1}{m_3}({n_2} + {m_2})}}; \hfill \cr {k_2} = \frac{{({m_1} + {n_1})({n_3} + {m_3}){m_2}}}{{{m_1}{m_3}({n_2} + {m_2})}} \hfill \cr \endmatrix \right.$$

-- 26.12.2016, 18:28 --

Ответ получился громоздким, поэтому есть подозрения.