Рассмотрим систему

(*)
Здесь
Функции

-- гладкие в окрестности точки

.
Теорема Фробениуса
Предположим, что в некоторой области
выполнены следующие условия интегрируемости:
(Дифференцирование в этой формуле
ведется только по переменным

, при этом переменные

считаются
зависимыми от

и вместо производных
подставляются их значения из уравнений (*)
Тогда при любом начальном условии

задача (*)
имеет решение

определенное при малых
Но есть такой нюанс.
Легко видеть, что условия теоремы Фробениуса являются лишь достаточными
для существования решения. Действительно, для системы

условия интегрируемости имеют вид

. Т.е. не
выполнены ни в какой области пространства

, однако
эта система имеет решение:

.
Интересно, есть регулярные способы отлова таких решений, версия теоремы Ф. учитывающая этоту особенность?