теорема Фробениуса

[zoo]

Рассмотрим систему
$\frac{\partial u^j}{\partial t^k}=f^j_k(t,u),\quad u^j\mid_{t=t_0}=u^j_0.$ (*)
Здесь $t=(t^1,\ldots, t^n)\in \mathbb{R}^n,\quad u=(u^1,\ldots,u^p)\in \mathbb{R}^p.$
Функции $f^j_k$ -- гладкие в окрестности точки $(t_0,u_0)\in \mathbb{R}^{n+p}$.

Теорема Фробениуса
Предположим, что в некоторой области $D=(t,u)\in \mathbb{R}^{n+p}$
выполнены следующие условия интегрируемости:

$$d\omega^j=0,\quad \omega^j=f^j_k(t,u)dt^k,\quad j=1,\ldots,p.$$

(Дифференцирование в этой формуле
ведется только по переменным $t$, при этом переменные $u$ считаются
зависимыми от $t$ и вместо производных $\frac{\partial u^j}{\partial t^k}$
подставляются их значения из уравнений (*)

Тогда при любом начальном условии $(t_0,u_0)\in D$ задача (*)
имеет решение $u(t)$ определенное при малых $|t-t_0|.$

Но есть такой нюанс.
Легко видеть, что условия теоремы Фробениуса являются лишь достаточными
для существования решения. Действительно, для системы

$$u_x=yu,\quad u_y=u$$

условия интегрируемости имеют вид $u=0$. Т.е. не
выполнены ни в какой области пространства $\mathbb{R}^3=(x,y,u)$, однако
эта система имеет решение: $u(x,y)=0$.

Интересно, есть регулярные способы отлова таких решений, версия теоремы Ф. учитывающая этоту особенность?

[Gafield]

По-моему, в такой постановке вряд ли получится что-нибудь интересное. Условия $d\omega^j=0$ для конкретного решения являются необходимыми, так что если решение существует, то его график должен лежать в множестве нулей этого условия. Даже если оно содержит какую-то поверхность, то с чего бы ей касаться распределений, задаваемых равенствами $\omega^j=0$?

Рассмотрим для примера случай $n=2$, $p=1$. Пусть $d\omega^1=F(x,y,u)dx\wedge dy$. У функции $F$ вообще может не быть нулей в рассматриваемой области, как, например, для $\omega^1=x dy$. Однако, допустим $F(x_0,y_0,u_0)=0$ и равенство $F=0$ задает в окрестности т.$ (x_0,y_0,u_0)$ гладкую поверхность, являющуюся графиком некоторой функции $u=f(x,y)$. Чтобы проскости, задаваемые формой $\omega^1$ касались графика, необходимо и достаточно, чтобы формы $df$ и $\omega^1$ были пропорциональны . Это явно не случай общего положения, у взятой наугад системы решения не будет.

[zoo]

Gafield писал(а):

По-моему, в такой постановке вряд ли получится что-нибудь интересное.

а я знаю случаи, когда именно эта постановка по-существу

Gafield писал(а):

Это явно не случай общего положения, у взятой наугад системы решения не будет.

бесспорно

[Gafield]

Цитата:

а я знаю случаи, когда именно эта постановка по-существу

Имелось ввиду не для приложений, а как объект исследования. Теоретически, надо проверить, что нули $F$ образуют гладкую поверхность $S$ в окр. данной точки и распределение плоскостей касается этой поверхности. Технически, сложности, возможно, будут, но это неважно. Факт пропорциональности двух 1-форм можно записать так: $\omega_1\wedge d f=0$ на $S$. В общем случае формулы, вероятно, будут аналогичны. Непонятно, что здесь еще исследовать?

[zoo]

Gafield писал(а):

Цитата:

а я знаю случаи, когда именно эта постановка по-существу

Имелось ввиду не для приложений, а как объект исследования.

имелось ввиду для приложений

Gafield писал(а):

$\omega_1\wedge d f=0$ на $S$. В общем случае формулы, вероятно, будут аналогичны. Непонятно, что здесь еще исследовать?

Я не понял, Вы хотите сказать, что это достаточные условия разрешимости системы уравнений?

[Gafield]

Если потребовать невырожденность $\omega_1$ и $df$, то их пропорциональность, очевидно, необходима. Если $\omega_1=0$, как в вашем примере, то $\omega_1$ не задает распределения. Можно считать, что всякая плоскость ему удовлетворяет, в частности, та, что касается графика $u=f(x,y)$. Если же $df=0$ и $u=f(x,y)$ - решение, то из уравнений $\omega_1=0$.

[zoo]

Gafield писал(а):

Если потребовать невырожденность $\omega_1$ и $df$, то их пропорциональность, очевидно, необходима. Если $\omega_1=0$, как в вашем примере, то $\omega_1$ не задает распределения. Можно считать, что всякая плоскость ему удовлетворяет, в частности, та, что касается графика $u=f(x,y)$. Если же $df=0$ и $u=f(x,y)$ - решение, то из уравнений $\omega_1=0$.

простите, я так и не понял чем дело кончилось достаточные условия существования решения есть? кстати задача о восстановлении метрики по символам Кристоффеля она к этому сводится,
поэтому если Вы все здесь поняли то каково условие существования метрики согласованной с данной связностью? разумеется в произвольной размерности

и еще: в моем примере $\omega^1$ равно не нулю, как Вы пишите, а $\omega^1=yudx+udy$

Добавлено спустя 53 минуты 6 секунд:

Gafield писал(а):

Чтобы проскости, задаваемые формой $\omega^1$ касались графика, необходимо и достаточно, чтобы формы $df$ и $\omega^1$ были пропорциональны . Это явно не случай общего положения, у взятой наугад системы решения не будет.

вот я еще это не понял почему плоскости должны касаться графика?

[Gafield]

Цитата:

и еще: в моем примере $\omega^1$ равно не нулю, как Вы пишите, а $\omega^1=yudx+udy$

Имеется в виду на поверхности $F=0$.

Общий случай я не рассматривал. Думаю, что идеология в произвольной размерности будет та же самая.

Итак, пусть $d\omega^1=F(x,y,u)dx\wedge dy$. Если $u$ -решение, то $du=\omega^1$ и $F(x,y,u(x,y))=0$ по теореме о смешанных производных. То есть, график функции $u(x,y)$ должен лежать в множестве нулей $F$.

Если локально множество нулей задается графиком $u=f(x,y)$, все даже проще, чем я писал. Кандидат в решение единственный - именно эта $u$. Необходимым и достаточным условием будет $df=\omega^1(x,y,f(x,y))$. В частности, это и означает, что плоскости, задаваемые $\omega^1$, должны касаться графика

[zoo]

я Вас понял. Теперь real life example. Пусть заданы символы Кристоффеля. Условия интегрируемости соответствующих дифференциальных уравнений на метрику согласованную со связностью имеют вид
$g_{ir}R^r_{skl}=g_{kr}R^r_{lis}$ Тензор Римана построен по заданным символам Кристоффеля.
представим себе, что эту однородную линейную систему можно разрешить относительно $g_{ij}$
(тут мы конечно можем сталкнуться с тем что от точки к точке на многообразии меняется ранг матрицы, или ранг не меняется но дрейфует главный минор, но будем считать, что нам повезло и этого не случилось) тогда мы получим, вообще говоря, параметрическое семейство решений, в котором параметры -- произвольные функции, если я Вас правильно понял, то это параметрическое семейство дальше надо подставить в дифференциальные уравнения на метрику, и получить дифференциальные уравнения на эти параметры. Что делать с последними? Я лично не очень представляю себе какого сорта это будет система.

[Gafield]

Эээ.. Что-то я ничего не смог понять. В какие дифференциальные уравнения надо подставлять $g_{ij}$? В формулы для символов Кристофффеля? И какое отношение эта задача имеет к предыдущему? А по поводу самой системы, может, имеет смысл рассмотреть отдельно двумерный случай? Там из-за того, что тензор Римана имеет один незасисимы компонент, не сократиться ли он? Тогда для $g$ получились бы уравнения только через произвольные функции и можно было бы прикинуть, что получается в более простой ситуации.

[zoo]

Gafield писал(а):

Эээ.. Что-то я ничего не смог понять.

Я имел ввиду вот что. Если заданы символы Кристоффеля, то компоненты метрического тензора, который согласован с этой связностью удовлетворяют дифференциальным уравнениям
$\nabla_ig_{jk}=0$ (**)
это уравнения типа (*). Условия интегрируемости этих дифференциальных уравнений таковы: $g_{ir}R^r_{skl}=g_{kr}R^r_{lis}$ (***). Тензор Римана вычислен по заданным символам Кристоффеля.
Естественно, компоненты тензора Римана зависят от точки на многообразии. Естественный шаг такой: решаем однородную систему СЛУ (***) относительно $g_{ij}$ получаем семейство решений, зависящее от некоторого количества произвольных функций точки многообразия. Полученное решение снова подставляем в уравнение (**). Получается дифференциальное уравнение относительно этих произвольных функций, что делать с этим последним уравнением никто не знает. Это просто пример той трудности которая возникает при решении системы типа (*).

[Gafield]

Цитата:

Это просто пример той трудности которая возникает при решении системы типа (*).

Неудивительно, что там сложности, поскольку система, вообще говоря, не имеет решения. Выше был дан простой ответ в терминах нулей функции $d\omega^1$, возможно, и в многомерном случае, при регулярноссти этого множества, можно сделать аналогичное заключение. А указать условия, при которых эти нули есть, в терминах символов Кристоффеля - конечно, сложно. Совсем неочевидно, что хотя бы в принципе есть сколько-нибудь хороший и общий ответ. А чтобы понять, какого сорта получится система, имеет смысл рассмотреть какой-нибудь частный случай вроде $n=2$.

[zoo]

Gafield писал(а):

Цитата:

Это просто пример той трудности которая возникает при решении системы типа (*).

Неудивительно, что там сложности, поскольку система, вообще говоря, не имеет решения. Выше был дан простой ответ в терминах нулей функции $d\omega^1$,

я думаю, что эта простота следствие малой размерности

[Gafield]

Посчитаем количество параметров в общем случае. Уравнения $d\omega^j=0$ содержат $np(p-1)/2$ условий. Предполагая, что имеет место случай общего положения, получим, что размерность поверхности нулей равна (если больше нуля) $n+p-np(p-1)/2$. При $p=2$ получается $2$. Если нашлась такая поверхность, подставляем в систему на предмет соответствия. При $p>2$ размерность $<p$. В общем случае не стоит надеяться, что будут даже подходящие кандидаты для решения.

Какие условия надо задавать на символы Кристоффеля, чтобы поверхности из нулей существовали (возможно, большей размерности, чем необходимо), причем их уравнения можно было бы выписать, чтобы подставить в исходную систему и найти решения, это, конечно, непонятно как. И неочевидно, что возможно в сколько-нибудь общем случае.

[zoo]

Gafield писал(а):

В общем случае не стоит надеяться, что будут даже подходящие кандидаты для решения.

Да я с этим и не спорю
Пример с символами Кристоффеля и метрикой показывает, что существуют задачи в которых именно этот самый "необщий случай" оказывается посуществу.