Как вводится мера

[Xaositect]

grizzly в сообщении #1177954 писал(а):

Впрочем, Халмош мог сильно устареть. Вот в этой энциклопедии от Springer все эти изнасилования выглядят ещё более вульгарно, но при этом имеют современный (а не середины прошлого века) дизайн.

Это же перевод советской "Математической энциклопедии", чуть современнее середины прошлого века.

[Anton_Peplov]

Someone в сообщении #1177953 писал(а):

Возможность продолжить меру на $\sigma$-кольцо.

Не, ну это понятно. Понятно, что меру на сигма-алгебре или просто сигма-кольце (кстати, а сигма-кольца без единицы кому-нибудь нужны?) удобно задавать как сигма-аддитивное продолжение с какого-нибудь полукольца. В конце концов, меру на самой что ни на есть расчудесной сигма-алгебре надо каким-то обозримым образом задать - не начертишь же таблицу, где каждому элементу сопоставлена его мера, для несчетного-то множества. Однако же ТС вел разговор не о продолжениях, он, сколько я его понял, подчеркивал, что и в рамках исходного полукольца, которое даже не обязательно кольцо, сигма-аддитивность может дать нечто полезное. Вот я и удивился.

[grizzly]

Xaositect в сообщении #1177956 писал(а):

Это же перевод советской "Математической энциклопедии", чуть современнее середины прошлого века.

Ага, спасибо, -- не признал. Я просто открыл первый попавшийся первоисточник из англо-вики, на который была прямая ссылка.
Но я не столько по теме -- здесь понятно, что произошёл терминологический казус -- меня немного задел тот стиль, которым здесь обычно принято общаться с всякими фриками, а не, условно говоря, с Халмошем и др. уважаемыми людьми.

[_hum_]

ewert в сообщении #1177930 писал(а):

_hum_ в сообщении #1177832 писал(а):

является следствием пополнения множества рациональных чисел?

Ну, следствием-то никак не может являться. Разве что использоваться как наводящее соображение, да и то не более чем по смутной аналогии.

ну, ясно, что речь не о прямом следствии, а о причине появления этого понятия.

Цитата:

_hum_ в сообщении #1177832 писал(а):

а как же мера границы измеримого (по жордану) плоского множества?

Да, факт существенный. Но к понятию "мера ноль" как таковому отношения не имеет. Это -- лишь очень частный случай такового понятия.

можете пояснить этот момент более подробно (чем нуль-мерность по лебегу приницпиально отличается от нульмерности по жордану)?

Цитата:

_hum_ в сообщении #1177832 писал(а):

или все-таки непрерывность?:)

Строго говоря, не знаю. Но точно знаю, что без счётности аддитивности с предельными переходами выйдет дело швах.

так они, начиная с кольца, становятся равносильными (непрерывность и счетная аддитивность) :)
вопрос был именно в том, что используется по сути - непрерывность или счетная аддитивность

Цитата:

_hum_ в сообщении #1177832 писал(а):

неее. понятие счетной аддитивности содержательно для любой системы множеств, на которой изначально задана мера (обычно рассматривают полукольцо).

неееее. Понятие счётной аддитивности просто бессмысленно без сигма-алгебростности. Т.е. оно без неё тупо не пришей кобыле хвост. Т.е. формально-то его ввести можно, а толку-то.

еще раз повторюсь, на кольце счетная-аддитивность совпадает с непрерывностью. и что, вы станете утверждать, что непрерывность не имеет смысла без сигма-алгебры? это почти то же самое, что отказывать в понятии непрерывности функции на неполном метрическом пространстве.

Anton_Peplov в сообщении #1177957 писал(а):

Однако же ТС вел разговор не о продолжениях, он, сколько я его понял, подчеркивал, что и в рамках исходного полукольца, которое даже не обязательно кольцо, сигма-аддитивность может дать нечто полезное. Вот я и удивился.

см. выше - непрерывность важна и в отрыве от сигма-алгебры.

[ewert]

_hum_ в сообщении #1177972 писал(а):

(чем нуль-мерность по лебегу приницпиально отличается от нульмерности по жордану)?

Тем, что "нульмерности" по Жордану просто не существует.

Есть большая разница между словами "мера множества равна нулю" и "множество меры нуль". Первое -- просто констатация факта, второе же -- понятие. Принципиально важное, но лишь в том случае, если речь именно о лебеговой мере. Типичный пример -- критерий интегрируемости по Риману: в определённом интеграле мера Лебега не используется (впрочем, там мера и вообще не используется), но словосочетание "меры нуль" понимается именно в лебеговом смысле. А где встречаются утверждения, посылки которых выглядят примерно как "пусть мера Жордана равна нулю"?...

_hum_ в сообщении #1177972 писал(а):

еще раз повторюсь, на кольце счетная-аддитивность совпадает с непрерывностью. и что, вы станете утверждать, что непрерывность не имеет смысла без сигма-алгебры?

Имеет. Формальный. Но ещё раз повторюсь: а какой с неё прок для сельского хозяйства?

Вот где это свойство используется для тех же интегралов Римана?

Вроде особо так и нигде. Именно потому, что нет счётной аддитивности в точном смысле. С вытекающими последствиями: пространства с интегральной метрикой оказываются неполными. Именно потому, что счётная аддитивность урезана, именно поэтому и бесполезна.

[_hum_]

ewert в сообщении #1178078 писал(а):

_hum_ в сообщении #1177972 писал(а):

(чем нуль-мерность по лебегу приницпиально отличается от нульмерности по жордану)?

Тем, что "нульмерности" по Жордану просто не существует.

[...] где встречаются утверждения, посылки которых выглядят примерно как "пусть мера Жордана равна нулю"?...

я ж уже приводил пример:

Цитата:

Ограниченное множество $E\subset\mathbb R^n$ измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет меру Жордана нуль

ewert в сообщении #1178078 писал(а):

какой с неё прок для сельского хозяйства?

ну, например, такой, что позволят по непрерывности продолжать меру в ситуациях наподобие - с базы топологии на топологию. (кстати, в толстове именно подобный подход и используется для определения меры лебега: сперва идет продолжение по монотонной непрерывности на систему счетных объединений и систему счетных пересечений, а потом эти системы используются для аппроксимации по схеме жордана уже оставшихся множеств. все выглядит очень естественно, в отличие от "канонического" функционального подхода).
кроме того, имхо, одна из важных ролей непрерывности - обеспечение возможности аппроксимировать измерение сложного множества измерением более простых.

[Otta]

_hum_ в сообщении #1178089 писал(а):

Ограниченное множество $E\subset\mathbb R^n$ измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет меру Жордана нуль

Верхнюю меру. Иначе критерий утрачивает смысл: определять измеримость одного множества через измеримость ничем не более простого, вроде как, незачем.
Так, конечно, тоже правда будет, но слишком жестко.

[ewert]

_hum_ в сообщении #1178089 писал(а):

, в толстове именно подобный подход и используется для определения меры лебега: сперва идет продолжение по монотонной непрерывности на систему счетных объединений и систему счетных пересечений, а потом эти системы используются для аппроксимации по схеме жордана уже оставшихся множеств. все выглядит очень естественно, в отличие от "канонического" функционального подхода

Это дело вкуса и зависит от того, в каком объёме предполагается изложение теории меры. Если нужна только мера Лебега, то естественнее выглядит просто повторить схему Жордана (которая геометрически крайне прозрачна), внеся необходимые изменения.

_hum_ в сообщении #1178089 писал(а):

я ж уже приводил пример:

Цитата:

Ограниченное множество $E\subset\mathbb R^n$ измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет меру Жордана нуль

И всё? Не густо. Только ради этого вводить новое понятие нет смысла.

Otta в сообщении #1178092 писал(а):

Верхнюю меру. Иначе критерий утрачивает смысл: определять измеримость одного множества через измеримость ничем не более простого, вроде как, незачем.

Это не совсем так. Тот факт, что равенство нулю меры и внешней меры эквивалентны, несмотря на всю свою тривиальность заслуживает всё-таки отдельного упоминания.

[_hum_]

ewert в сообщении #1178104 писал(а):

_hum_ в сообщении #1178089 писал(а):

, в толстове именно подобный подход и используется для определения меры лебега: сперва идет продолжение по монотонной непрерывности на систему счетных объединений и систему счетных пересечений, а потом эти системы используются для аппроксимации по схеме жордана уже оставшихся множеств. все выглядит очень естественно, в отличие от "канонического" функционального подхода

Это дело вкуса и зависит от того, в каком объёме предполагается изложение теории меры. Если нужна только мера Лебега, то естественнее выглядит просто повторить схему Жордана (которая геометрически крайне прозрачна), внеся необходимые изменения.

так в том и дело, что вы ее (схему жордана) не сможете провести, если не допустите возможность задания меры на произвольной системе множеств (а не на полукольце) :) я так думаю, именно это во многом и сподвигло на соответствующее расширение этого понятия.

Цитата:

_hum_ в сообщении #1178089 писал(а):

я ж уже приводил пример:

Цитата:

Ограниченное множество $E\subset\mathbb R^n$ измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет меру Жордана нуль

И всё? Не густо. Только ради этого вводить новое понятие нет смысла.

не все. специально для вас, предвидя такую реакцию, поискал :)

Цитата:

Theorem (Property of stability) Let $ f, g: [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ be two bounded functioms and let $X$ be a Jordan null subset of $[a,b]$ such that $f(x) = g(x)$ for all $x\in [a,b]\setminus X$. If $f$ is Riemann integrable, then $g$ is Riemann integrable and $\int_{a}^{b}g(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)dx$.

Otta в сообщении #1178092 писал(а):

_hum_ в сообщении #1178089 писал(а):

Ограниченное множество $E\subset\mathbb R^n$ измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет меру Жордана нуль

Верхнюю меру. Иначе критерий утрачивает смысл: определять измеримость одного множества через измеримость ничем не более простого, вроде как, незачем.
Так, конечно, тоже правда будет, но слишком жестко.

ну, например, на плоскости множества часто задаются через замкнутую кривую, являющуюся их границей. а для самих кривых есть отдельные теоремы, типа, кусочно-гладкая имеет меру нуль на плоскости. так что все-таки смысл в такой формулировке есть.

[ewert]

_hum_ в сообщении #1178108 писал(а):

ну, например, на плоскости множества часто задаются через замкнутую кривую, являющуюся их границей. а для самих кривых есть отдельные теоремы, типа, кусочно-гладкая имеет меру нуль на плоскости

Ну применительно к мере Жордана это никуда не годится. Формальное описание кривых -- вещь гораздо более сложная, чем мера Жордана. Даже понятие внутренности контура (даже кусочно-гладкого) совсем не тривиально с формальной точки зрения.

_hum_ в сообщении #1178108 писал(а):

and let $X$ be a Jordan null subset of $[a,b]$

Ну а это зачем? Какой смысл вводить меру Жордана на прямой? Ведь измеримыми оказываются лишь очень бедные множества, не представляющие никакой практической ценности (за тривиальными исключениями -- конечными или с конечным количеством точек сгущения, для которых никаких мер не нужно). А теоретической ценности эта мера не представляет в силу своей неполноценности.

_hum_ в сообщении #1178108 писал(а):

так в том и дело, что вы ее (схему жордана) не сможете провести, если не допустите возможность задания меры на произвольной системе множеств

Что значит не смогу? Она же конструктивно определяется. Конечно, детали схемы по Лебегу окажутся существенно более громоздкими, чем по Жордану. Но это искупается геометрической прозрачностью.

[_hum_]

ewert в сообщении #1178121 писал(а):

_hum_ в сообщении #1178108 писал(а):

ну, например, на плоскости множества часто задаются через замкнутую кривую, являющуюся их границей. а для самих кривых есть отдельные теоремы, типа, кусочно-гладкая имеет меру нуль на плоскости

Ну применительно к мере Жордана это никуда не годится. Формальное описание кривых -- вещь гораздо более сложная, чем мера Жордана. Даже понятие внутренности контура (даже кусочно-гладкого) совсем не тривиально с формальной точки зрения.

извините, не могли бы вы изъясняться более конкретно. а то, сложно понять, о чем именно идет речь.

Цитата:

_hum_ в сообщении #1178108 писал(а):

and let $X$ be a Jordan null subset of $[a,b]$

Ну а это зачем? Какой смысл вводить меру Жордана на прямой? Ведь измеримыми оказываются лишь очень бедные множества, не представляющие никакой практической ценности (за тривиальными исключениями -- конечными или с конечным количеством точек сгущения, для которых никаких мер не нужно). А теоретической ценности эта мера не представляет в силу своей неполноценности.

в смысле, и канторовское множество (которое тоже имеет жорданову меру нуль) вы также относите к тривиальным?

Цитата:

_hum_ в сообщении #1178108 писал(а):

так в том и дело, что вы ее (схему жордана) не сможете провести, если не допустите возможность задания меры на произвольной системе множеств

Что значит не смогу? Она же конструктивно определяется. Конечно, детали схемы по Лебегу окажутся существенно более громоздкими, чем по Жордану. Но это искупается геометрической прозрачностью.

либо вы меня неправильно понимаете, "либо одно из двух". я говорю про то, что если строить продолжение меры с полукольца на сигма-алгебру измеримых по лебегу по схеме жордана, то необходимо будет предварительно ввести понятие меры на произвольной системе множеств. иначе вам просто нечем будет приближать лебеговские множества сверху и снизу в жордановой схеме (а вот если вы введете понятие меры на любой системе, то можно будет сперва продолжить меру на систему счетных объединений и систему счетных пересечений, а потом уже их брать в качестве приближающих).

[Someone]

Anton_Peplov в сообщении #1177957 писал(а):

он, сколько я его понял, подчеркивал, что и в рамках исходного полукольца, которое даже не обязательно кольцо, сигма-аддитивность может дать нечто полезное. Вот я и удивился.

В теории вероятностей, кроме вероятностного пространства с $\sigma$-алгеброй событий, есть понятие вероятностного пространства в широком смысле, где множество событий является лишь алгеброй; при этом условие счётной аддитивности вероятности формулируется в "изнасилованном" виде. Понятия не имею, насколько полезным является такое расширение понятия вероятностного пространства. Я его встречал в учебнике А. А. Боровкова по теории вероятностей.