Энергия согласованного фильтра

[realeugene]

Vaarallinen в сообщении #1177519 писал(а):

Есть задача обнаружения сигнала известного по форме, но его фаза и амплитуда - неизвестны.

Время прихода сигнала, наверное, тоже неизвестно? Или известно? От этого зависит смысл вероятности ложного детектирования. Если время прихода сигнала неизвестно и детектор работает непрерывно, то каким бы ни был порог, если подождать достаточно долго, детектор сработает. Так что, в таком случае можно говорить только про вероятность ложного детектирования за некоторый промежуток времени.

Vaarallinen в сообщении #1177519 писал(а):

$N_0$ - очевидно, мощность шума в полосе сигнала.

Этим символом, как правило, обозначают одностороннюю спектральную плотность мощности (белого) шума. Чтобы оценить (специально не пишу "посчитать") мощность шума в полосе сигнала (а точнее, в полосе согласованного фильтра), нужно умножить эту спектральную плотность мощности шума на ширину полосы пропускания фильтра. Плотность шума в канале или известна априорно при настройке детектора (из расчётов или предварительных измерений, или из оценки худшего случая), или её измеряют во время работы устройства и подстраивают пороги срабатывания детектора адаптивно.

Не совсем понимаю вашу задачу, поэтому, ограничусь этими двумя замечаниями.

[realeugene]

Vaarallinen в сообщении #1177519 писал(а):

$E_1$

Прочитал формулы из первого поста.
$E_1$ - это энергия (интеграл квадрата по времени) вашего одного согласованного фильтра. $E_1N_0/2$ - дисперсия отсчёта на выходе УВХ после фильтра. УВХ защёлкивает один отсчёт в нужный момент времени прихода сигнала, этот отсчёт далее сравнивается с порогом и вероятность ложного срабатывания относится только к этому одному акту детектирования. Таким образом, время прихода сигнала в вашей задаче априорно известно. $F$ у вас в тексте - это хвост кумулятивной функции распределения вероятности хи-квадрат с двумя степенями свободы, это распределение получается в вашей задаче при суммировании квадратов двух независимых гауссовых величин - выборок с двух фильтров. Порог $h$ выбирается таким образом, чтобы вероятность выброса суммы квадратов выше этого порога была равна заданной вероятности ложного детектирования. Таким образом, и $E_1$, и $N_0$ - это исходные параметры для расчёта порога, величины, которые характеризуют ваш согласованный фильтр и шум на его входе. Только вы сами знаете, чему они могут быть у вас равны.

А мощность сигнала и SNR вообще никакого отношения к выбору вашего порога не имеют, так как ложное срабатывание детектора возникает только в ситуации, когда мощность сигнала на входе была равна нулю.

[levtsn]

Вроде по нп порог выбирается такой при котором частота ложной тревоги равна заданной?

[realeugene]

Насколько я вижу, обсуждаемый детектор из книжки дискретный, для него осмысленна вероятность ложного срабатывания одного детектирования.

Если вероятность ложного детектирования мала, то вероятность ложного срабатывания за $N$ независимых тестов в $N$ раз больше. Для непрерывного случая тесты можно считать независимыми если они расположены шире пика автокорреляционной функции шума на выходе фильтра, равного $\tau$. То есть вероятность ложного детектирования в секунду можно оценить как $p_F/\tau$. Для более точного расчёта, конечно, нужно лезть в специальные главы учебников.

[profrotter]

Отделено от Некогерентный обнаружитель. Причина: поток сознания, утонувший в терминологической каше.

realeugene в сообщении #1177668 писал(а):

Время прихода сигнала, наверное, тоже неизвестно?

Задача обнаружения сигналов ставится на известном временном интервале.

realeugene в сообщении #1177668 писал(а):

Не совсем понимаю вашу задачу, поэтому, ограничусь этими двумя замечаниями.

Когда не понимаете задачу лучше воздержаться от публикации сообщений.

realeugene в сообщении #1177694 писал(а):

это энергия (интеграл квадрата по времени) вашего одного согласованного фильтра

Нет и не может быть такого термина "энергия согласованного фильтра"

realeugene в сообщении #1177668 писал(а):

Плотность шума

нет такого термина.

realeugene в сообщении #1177694 писал(а):

это хвост кумулятивной функции распределения вероятности

У комулятивной функции распределения нет хвостов. $W(z)$ там обозначена плотность вероятности, а не функция распределения.

realeugene в сообщении #1177705 писал(а):

Для непрерывного случая тесты можно считать независимыми если они расположены шире пика автокорреляционной функции шума на выходе фильтра

Тесты не могут быть расположены шире пика АКФ шума. Тёплое вообще трудно смешать с мягким.

realeugene в сообщении #1177694 писал(а):

$F$ у вас в тексте - это хвост кумулятивной функции распределения вероятности

$F$ - это вероятность ложной тревоги - вероятность того, что принято решение о наличии сигнала при условии, что он отсутствует.

realeugene в сообщении #1177694 писал(а):

А мощность сигнала и SNR вообще никакого отношения к выбору вашего порога не имеют, так как ложное срабатывание детектора возникает только в ситуации, когда мощность сигнала на входе была равна нулю.

Это попросту бред. Обнаружитель сигналов характеризуется семейством кривых обнаружения. Они отражают связь между вероятностью правильного обнаружения, вероятностью ложной тревоги и отношением сигнал/шум на выходе согласованного фильтра. Отношение сигнал шум здесь рассматривается как отношение пиковой мощности сигнала к средней мощности шума на выходе согласованного фильтра. Вероятность ложной тревоги выражается также через порог принятия решения и среднюю мощность шума на выходе согласованного фильтра. Так вот зная пиковую мощность сигнала и отношение сигнал шум очень просто определить дисперсию шума на выходе согласованного фильтра, после чего и значение порога принятия решения. Всё описанное совершенно не зависит от конкретного опыта по обнаружению сигнала (от того присутствует сигнал на входе обнаружителя или присутствует только шум в конкретном опыте).

[realeugene]

Прошу администрацию ознакомиться со следующими темами:
post1177661.html#p1177661
viewtopic.php?p=1177668#p1177668

Модератор profrotter, явно, некомпетентен в обсуждаемой теме. Это видно уже хотя бы потому, что он вообще обсуждает с ТС мощность сигнала при оценке вероятности ложноположительного детектирования. При этом он мешает помочь человеку разобраться в его задаче, снося мой текст, который ему просто не понятен, в Пургаторий. На мой взгляд, это прямое злоупотребление правами модератора, наносящее вред форуму.

Претензии модератора profrotter к моему тексту и соответствие его действий правилам и духу форума прошу рассмотреть детально.

[bot]

Позвольте полюбопытствовать, а сам Vaarallinen не может за себя голос подать? Или это Вы и есть?

[realeugene]

Я не Vaarallinen. Я автор ответов, которые модератор profrotter отделил от исходной темы в Пургаторий. Так что, это вопрос некорректных действий модератора profrotter по отношению к моим постам, а не к ТС исходной темы.

[Pphantom]

В данном случае вопрос решается тривиально. Претензии могут быть предъявлены к одному конкретному сообщению post1177794.html#p1177794, содержащему несколько конкретных утверждений, принципиально допускающих их опроверждение путем построения контрпримеров. Соответственно, требуется эти контрпримеры привести (естественно, со ссылками на серьезную литературу, и желательно - с подтверждениями того, что это не разовое толкование термина, а общепринятое). Вот этим и займитесь.

А просто так обвинять profrotter в некомпетентности несколько нелепо. Попробовать, конечно, можно, но, боюсь, результат будет не тем, которого Вы стремитесь достичь.

[realeugene]

Я стремлюсь добиться детального разбора этого действия модератора profrotter. Первый пост - затравочный, разумеется, так как углублённый разбор каждой претензии потребует времени.

Претензии могут быть предъявлены ещё и по поводу самого сноса текстов в Пургаторий без обсуждения. Это значит, что пурга - весь мой снесённый текст, а не только какие-либо претензии, написанные явно в одном посте. И там я спокойно прокомментировать претензии к моим постам уже не могу. Относительно конкретных претензий в этом посте - верно, нужен детальный разбор со ссылками на литературу. Этим я сейчас и занимаюсь. Вы не против, если я буду идти в этой теме последовательно, а не всё сразу?

Но самое первое - это моё обвинение модератора profrotter в том, что он некомпетентен в обсуждаемой теме уже на основании того, что он обсуждает мощность сигнала в применении к вероятности ложноположительного детектирования, объявленного ТС в качестве критерия конструирования детектора. Мне кажется, что чтобы понять, что это - чушь, достаточно обыкновенного здравого смысла: ложноположительный исход - это ситуация, когда сигнала на входе нет, а детектор выдал результат, что сигнал на входе есть. Для такого исхода не имеет значения, какой мощности сигнала на входе нет. Мощность сигнала имеет значение только для нахождения ROC, но не порога детектирования, о котором спрашивал ТС.

Разбор по шагам претензий модератора profrotter продолжу далее. Сюда же пока что скопирую пост profrotter post1177794.html#p1177794 , пронумеровав его претензии по порядку. К сожалению, не знаю, как сохранить форматирование, так как в Пургатории открыть окно создания ответа, чтобы сохранить форматирование, я не могу.

Цитата:

1. realeugene в сообщении #1177668 писал(а):
Время прихода сигнала, наверное, тоже неизвестно?

profrotter> Задача обнаружения сигналов ставится на известном временном интервале.

2. realeugene в сообщении #1177668 писал(а):
Не совсем понимаю вашу задачу, поэтому, ограничусь этими двумя замечаниями.

profrotter> Когда не понимаете задачу лучше воздержаться от публикации сообщений.

3. realeugene в сообщении #1177694 писал(а):
это энергия (интеграл квадрата по времени) вашего одного согласованного фильтра
profrotter> Нет и не может быть такого термина "энергия согласованного фильтра"

4. realeugene в сообщении #1177668 писал(а):
Плотность шума
profrotter> нет такого термина.

5. realeugene в сообщении #1177694 писал(а):
это хвост кумулятивной функции распределения вероятности

profrotter> У комулятивной функции распределения нет хвостов. $W(z)$ там обозначена плотность вероятности, а не функция распределения.

6. realeugene в сообщении #1177705 писал(а):
profrotter> Для непрерывного случая тесты можно считать независимыми если они расположены шире пика автокорреляционной функции шума на выходе фильтра

Тесты не могут быть расположены шире пика АКФ шума. Тёплое вообще трудно смешать с мягким.

7. realeugene в сообщении #1177694 писал(а):
$F$ у вас в тексте - это хвост кумулятивной функции распределения вероятности

profrotter> $F$ - это вероятность ложной тревоги - вероятность того, что принято решение о наличии сигнала при условии, что он отсутствует.

[profrotter]

realeugene в сообщении #1177836 писал(а):

Но самое первое - это моё обвинение модератора profrotter в том, что он некомпетентен в обсуждаемой теме уже на основании того, что он обсуждает мощность сигнала в применении к вероятности ложноположительного детектирования, объявленного ТС в качестве критерия конструирования детектора.

Враньё. Мощность сигнала обсуждается в применении к определению отношения сигнал/шум. Вообще вы прочитали бы внимательно стартовое сообщение темы, в которой намусорили. Автор темы спрашивает:

profrotter в сообщении #1177523 писал(а):

Вопрос в том, как найти именно порог обнаружения h. Не совсем понимаю, как зная SNR, структуры фильтров, разрядности и тд (особенности архитектуры приемника у себя) определить то, что на картинке обозначено как $N_0$ и $E_1$. Видимо нужна еще какая-то априорная информация, но скорее всего я не понимаю какую-то простую вещь.

Понимаете что задано? А вы там где-то ещё пишете, что исходные данные к задаче не причём:

realeugene в сообщении #1177694 писал(а):

А мощность сигнала и SNR вообще никакого отношения к выбору вашего порога не имеют, так как ложное срабатывание детектора возникает только в ситуации, когда мощность сигнала на входе была равна нулю.

Как такое может быть, не задумывались? Это, кстати, тоже неверное утверждение. Забыл написать в вашей теме. Допишу.
Что касается вероятности ложной тревоги, то её оценивать не надо. Она попросту задана:

Vaarallinen в сообщении #1177519 писал(а):

Поскольку в качестве критерия оптимальности используется критерий Неймана-Пирсона, то порог этот определяется исходя из заданной вероятности ложной тревоги F (см. картинку).

О чём вам даже отдельно сообщили:

levtsn в сообщении #1177698 писал(а):

Вроде по нп порог выбирается такой при котором частота ложной тревоги равна заданной?

Ну и, наконец, в теме рассматривается простейшая учебная задача на знание элементарных определений (какие надо знать я писал в теме). Когда это знание придёт, студенту будет достаточно поделить одно число на другое, как это было сделано в похожей теме topic94941.html. Это было настолько просто, что мне даже сделали замечание за решение простой учебной задачи. Вот и всё.

[realeugene]

profrotter в сообщении #1177837 писал(а):

Враньё. Мощность сигнала обсуждается в применении к определению отношения сигнал/шум.

Спасибо, вы мне упрощаете задачу показать форумной общественности вашу некомпетентность в обсуждаемом вопросе. Я уже было начал искать ссылки на литературу для п. 1, чтобы показать, для начала, что задача детектирования сигнала, приходящего в произвольный момент времени на интервале сводится к общей задаче детектирования известного сигнала с дополнительным неизвестным параметром, и в литературе описаны и те, и другие задачи, но отложу пока это, так как этот ваш последний ответ разобрать проще, этот вопрос поднят раньше и вы настаиваете на этом своём непонимании, и, возможно, вас посетит озарение, когда я его вам продемонстрирую.

Да, вы начали обсуждать мощность сигнала и SNR в применении к этой задаче. И именно это - глупость. Потому что вы совершенно верно цитируете ТС, что вопрос ТС был "Вопрос в том, как найти именно порог обнаружения h." и "Поскольку в качестве критерия оптимальности используется критерий Неймана-Пирсона, то порог этот определяется исходя из заданной вероятности ложной тревоги F (см. картинку)." Иными словами, ТС хочет найти функцию $h=h(F, N_o, E_1, SNR)$. Но эта функция, как мы далее увидим, вообще не зависит от $SNR$. И очень забавно, что вы до сих пор не видите, что она от него и не может зависеть, по крайней мере, для выбранной схемы детектирования. Так что, SNR для правильного ответа ТС не нужно вообще, и то, что вы полезли его обсуждать, и означает, что вы эту задачу не понимаете совершенно.

Показать, что $h$ не зависит от $SNR$, на самом деле, довольно легко. Чем мы далее и займёмся.

[profrotter]

profrotter в сообщении #1177794 писал(а):

Вероятность ложной тревоги выражается также через порог принятия решения и среднюю мощность шума на выходе согласованного фильтра. Так вот зная пиковую мощность сигнала и отношение сигнал шум очень просто определить дисперсию шума на выходе согласованного фильтра, после чего и значение порога принятия решения.

Чего вы там собрались показывать? Всё уже показано до вас в стартовом сообщении темы:

Vaarallinen в сообщении #1177519 писал(а):

Поскольку в качестве критерия оптимальности используется критерий Неймана-Пирсона, то порог этот определяется исходя из заданной вероятности ложной тревоги F (см. картинку).
$F =\exp[(-h_0)^2/2]$
$h_0 = \frac{h}{\sqrt{N_0 \cdot E_1 /2}}$
$h = \sqrt{-2 \cdot \ln(F) \cdot \frac{N_0}{2} \cdot E_1}$

Порог принятия решения определяется вероятностью ложной тревоги и дисперсией шума на выходе согласованного фильтра. А последнее не задано. Но задано отношение сигнал/шум и вид сигнала, что позволяет найти дисперсию шума на выходе согласованного фильтра. Простая задачка на одно действие.

[realeugene]

realeugene в сообщении #1177839 писал(а):

Иными словами, ТС хочет найти функцию $h=h(F, N_o, E_1, SNR)$.

Итак, в качестве первого шага. Как же обычно находят $h$? Так как эта функция монотонно убывающая по F, она просто обратная функция для $F=F(h, N_0, E_1, SNR)$. Посчитав вероятность ложного детектирования для заданных параметров сигнала, шума, конструкции детектора и заданного порога мы выбираем порог таким образом, чтобы вероятность ложного детектирования совпала с требуемой по критерию Неймана-Пирсона. И никак иначе. Модератор profrotter чуть выше написал:

profrotter в сообщении #1177837 писал(а):

Что касается вероятности ложной тревоги, то её оценивать не надо. Она попросту задана:

-- 17.12.2016, 16:23 --

profrotter в сообщении #1177849 писал(а):

Чего вы там собрались показывать? Всё уже показано до вас в стартовом сообщении темы:

Спасибо, я как раз хотел к этому перейти. Как видите, ТС записана вероятность ложной тревоги для заданного порога, и эту функцию обращают, чтобы найти требуемый порог. И это выражение содерждит $N_0$, но не содержит $SNR$. Кстати, вы до сих пор не видите, что эта формула есть вероятность ложной тревоги именно для известного сигнала с неизвестной фазой, но с известным положением сигнала во времени? Но это я забегаю немного вперёд, конечно.

profrotter в сообщении #1177849 писал(а):

Но задано отношение сигнал/шум и вид сигнала, что позволяет найти дисперсию шума на выходе согласованного фильтра. Простая задачка на одно действие.

Кстати, не позволяет уже потому, что "вид сигнала" ничего не говорит о мощности этого сигнала.

[realeugene]

(Оффтоп)

Иду как по минному полю: ошибки, которые модератору profrotter простят, мне взорвутся. Приходится всё обдумывать и проверять в литературе с железобетонной репутацией. Ну, это нормально. Но поэтому и медленно.

Итак, модератор profrotter согласился с тем, что в исходном выражении ТС для $F$ никакой $SNR$ не фигурирует, при этом он ссылается на то, что в другой похожей задаче (но другой) можно было через $SNR$ получить шум на выходе детектора, и что он считает, что эта задача учебная, а не практическая, и её нужно решать именно так. При этом в обсуждаемой теме всё равно нет исходных данных для расчёта шума на выходе детектора через $SNR$, как предлагает модератор profrotter. Ну ладно, может быть, действительно, задача учебная, и, даже заданная студенту самим profrotter. Простыми наглядными средствами всё равно не покажешь тут, что это чушь. Придётся идти по более длинному пути, опровергая его претензии к моим текстам, и показывая, что пурга сидит только в его голове.

Значит, иду по пунктам, как обещал:

Цитата:

1. realeugene в сообщении #1177668 писал(а):
Время прихода сигнала, наверное, тоже неизвестно?

profrotter> Задача обнаружения сигналов ставится на известном временном интервале.

Это грубо неверно. Задача ставится по-разному.

Далее буду ссылаться в основном на классический учебник Harry L. Van Trees, "Detection, Estimation and Modulation Theory, Part I. Detection, Estimation and Linear Modulation Theory". Во-первых, критерий Неймана-Пирсона - это критерий тестирования произвольных бинарных гипотез, вообще не привязанный к обнаружению сигналов во времени. Он вводится в учебнике в разделе "2.2 Simple Binary Hypothesis Test". Во вторых, оптимальный приёмник фиксированого во времени сигнала в гауссовом шуме подробно разобран и описан в разделе "4.2.1 Detection of Signals in Additive White Gaussian Noise". Никакого "интервала времён" нет, и оптимальный приёмник на рис. 4.12 на основе согласованного фильтра содержит ключ, замыкаемый однократно в момент $t=T$, то есть, в заданное время. Отмечу, что формула для F в исходном сообщении ТС относится именно к такому случаю. Рассчитываемая при этом вероятность ложноположительного измерения относится к событию одного измерения (замыкания ключа), а не за какой-то промежуток времени, так что, о "частоте ложной тревоги" в этом случае говорить вообще нельзя, можно говорить только о её вероятности.

Задача определения положения сигнала заданной формы с неизвестным положением во времени на интервале упоминается в разделе "4.2.3 Nonlinear Estimation" в примере 1. Эту задачу, разумеется, можно редуцировать до бинарной задачи детектирования наличия сигнала где-то на этом интервале пользуясь методикой, описанной в разделе "4.4 Signals with Unwanted Parameters: The Composite Hyposesis Problem" (и наверняка она неоднократно решена, но искать отдельные статьи с её решениями я сейчас не буду). Но результат может оказаться не очень простым для точного применения, как это всегда бывает с нелинейными параметрами.

Таким образом, в п. 1 своих претензий модератор profrotter наврал. Бывает по-разному, и заданный мною ТС вопрос о смысле вероятности в условии ТС был осмыслен и, более того, неизбежен при аккуратном рассмотрении описанной задачи.

-- 17.12.2016, 18:37 --

realeugene в сообщении #1177836 писал(а):

2. realeugene в сообщении #1177668 писал(а):
Не совсем понимаю вашу задачу, поэтому, ограничусь этими двумя замечаниями.

profrotter> Когда не понимаете задачу лучше воздержаться от публикации сообщений.

Это не более, чем прямое хамство со стороны модератора profrotter. Никто не обязан понимать всё, вопросы к ТС для того и задаются, чтобы прояснить детали постановки его задачи, равно, как и делаются определённые предположения в случае неоднозначности.