функан (теорема о замкнутом графике)

[infantier]

Помогите, пожалуйста, срочно решить задачу.
$X$-нормированное пространство. $A$-линейный оператор из $X$ в $R$ ($R$- действительные числа).
График $A$ замкнут, то есть множество $(x,Ax)$ $;x\in X$, замкнуто в декартовом произведении $X$ и $R$.Норма в декартовом произведении $X$ и $R$ равна $|(x,y)|=|x|+|y|$.
Доказать, что $A$ -непрерывный оператор.

[Brukvalub]

А теорема о замкнутом графике: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BE_%D0%B7%D0%B0%D0%BC%D0%BA%D0%BD%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BC_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D0%BA%D0%B5
здесь никак не может помочь?

[infantier]

Там все пространства банаховы.

[Профессор Снэйп]

Пусть оператор $A$ разрывен. Тогда он не ограничен. Следовательно, найдётся последовательность точек $x_0, x_1, \ldots$ из $X$, такая что $\lim_{n \to \infty} \| x_n \| = 0$ и $Ax_n = 1$ для любого $n \in \mathbb{N}$.

Пусть $y_n = (x_n, 1)$ для всех $n \in \mathbb{N}$. Несложно заметить, что введённая последовательность $\{ y_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ в X \times \mathbb{R}$ стремится к $(0,1)$. Однако все точки $y_n$ принадлежат графику, а $(0,1)$ не принадлежит графику, что противоречит его замкнутости.

Как видите, банаховость здесь совершенно не при чём. Она нужна для обратного утверждения (каждый ограниченный линейный оператор имеет замкнутый график). Детали проработайте самостоятельно