Пусть оператор

разрывен. Тогда он не ограничен. Следовательно, найдётся последовательность точек

из

, такая что

и

для любого

.
Пусть

для всех

. Несложно заметить, что введённая последовательность

в

стремится к

. Однако все точки

принадлежат графику, а

не принадлежит графику, что противоречит его замкнутости.
Как видите, банаховость здесь совершенно не при чём. Она нужна для обратного утверждения (каждый ограниченный линейный оператор имеет замкнутый график). Детали проработайте самостоятельно
