Формула Содди

[Rusit8800]

Известно следующее соотношение для касающихся окружностей:
Пусть три окружности с радиусами $a,b,c$ касаются внешним образом. Пусть $r$ — радиус окружности, касающейся трех данных окружностей внешним образом. Тогда имеет место равенство

$$\displaystyle2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{r^2}\right)=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{r}\right)^2$$

По идее, если положить в $a,b,c$ радиусы вневписанных окружностей, то, согласно теореме Фейербаха, радиус $r$ будет равен радиусу окружности девяти точек, однако если положить в $r$ половину радиуса вписанной окружности то равенство будет
всегда выполняться
Но ведь оно должно выполняться только тогда, когда $r$ равно половине радиуса описанной окружности, а не вписанной.

[ИСН]

По-моему, это тот самый случай, когда уравнение умнее нас. Оно квадратное, у него два корня. Один - вписанная окружность, другой - описанная.

[Rusit8800]

Да дело даже не в этом, а в том, что окружность, касающаяся ВСЕХ трех вневписанных внешним образом единственна(если рассматривать именно этот случай, а не 7 остальных).

-- 13.12.2016, 20:10 --

И полу-радиус вписанной окружности удовлетворяет этому условию.

[Rusit8800]

-- 13.12.2016, 21:14 --

второй слева, внизу