2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Формула Содди
Сообщение13.12.2016, 16:51 
Аватара пользователя
Известно следующее соотношение для касающихся окружностей:
Пусть три окружности с радиусами $a,b,c$ касаются внешним образом. Пусть $r$ — радиус окружности, касающейся трех данных окружностей внешним образом. Тогда имеет место равенство

$$\displaystyle2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{r^2}\right)=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{r}\right)^2$$

По идее, если положить в $a,b,c$ радиусы вневписанных окружностей, то, согласно теореме Фейербаха, радиус $r$ будет равен радиусу окружности девяти точек, однако если положить в $r$ половину радиуса вписанной окружности то равенство будет
всегда выполняться
Но ведь оно должно выполняться только тогда, когда $r$ равно половине радиуса описанной окружности, а не вписанной.

 
 
 
 Re: Формула Содди
Сообщение13.12.2016, 18:08 
Аватара пользователя
По-моему, это тот самый случай, когда уравнение умнее нас. Оно квадратное, у него два корня. Один - вписанная окружность, другой - описанная.

 
 
 
 Re: Формула Содди
Сообщение13.12.2016, 19:08 
Аватара пользователя
Да дело даже не в этом, а в том, что окружность, касающаяся ВСЕХ трех вневписанных внешним образом единственна(если рассматривать именно этот случай, а не 7 остальных).

-- 13.12.2016, 20:10 --

И полу-радиус вписанной окружности удовлетворяет этому условию.

 
 
 
 Re: Формула Содди
Сообщение13.12.2016, 20:13 
Аватара пользователя
Изображение

-- 13.12.2016, 21:14 --

второй слева, внизу

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group