вопрос про собственный делитель

[ShMaxG]

Скажите пожалуйста, правильно ли я понимаю, что идеал $(x)$ в кольце многочленов $\mathbb{Z}\left[ x \right]$ над кольцом целых чисел $\mathbb{Z}$ имеет в качестве собственного делителя идеал $(2,x)$, если $\exists p(x) \in \mathbb{Z}\left[ x \right]$ такой что $(x) = p(x)(2,x)$.

[RIP]

Вообще-то, это означает, что существует идеал $\mathfrak A\subsetneq\mathbb Z[x]$, такой что $(x)=(2,x)\mathfrak A$, но такого идеала, очевидно, не существует.

[ShMaxG]

Т.е. идеал

\[(x)\]

в кольце многочленов

\[\mathbb{Z}\left[ x \right]\]

НЕ имеет в качестве собственного делителя идеал

\[(2,x)\]

?
Наверно даже такой пример можно привести: т.к.

\[x \in (x)\]

, то должен

\[\exists p(x) \in \mathfrak{A}\]

и

\[\exists q(x) \in (2,x)\]

, такие, что

\[ x = p(x) \cdot q(x) \]

, но это невозможно.

[RIP]

ShMaxG писал(а):

Т.е. идеал

\[(x)\]

в кольце многочленов

\[\mathbb{Z}\left[ x \right]\]

НЕ имеет в качестве собственного делителя идеал

\[(2,x)\]

?

Да.

ShMaxG писал(а):

Наверно даже такой пример можно привести: т.к.

\[x \in (x)\]

, то должен

\[\exists p(x) \in \mathfrak{A}\]

и

\[\exists q(x) \in (2,x)\]

, такие, что

\[ x = p(x) \cdot q(x) \]

, но это невозможно.

Это неправильное рассуждение. Вспомните, как определяется произведение идеалов.

[ShMaxG]

Произведением идеалов I и J называется идеал IJ, порождённый всеми произведениями ab, где a — элемент идеала I, b — элемент идеала J.

Т.е.

\[x = (2,x)\mathfrak{A}\]

невозможно, потому что

\[ (x) \]

не содержит свободных членов, а

\[(2,x)\mathfrak{A}\]

содержит?

[RIP]

ShMaxG писал(а):

Произведением идеалов I и J называется идеал IJ, порождённый всеми произведениями ab, где a — элемент идеала I, b — элемент идеала J.

Да, т.е. множество (конечных) сумм таких произедений. В данном случае $(2,x)\mathfrak A=2\mathfrak A+x\mathfrak A$.

ShMaxG писал(а):

Т.е.

\[(x) = (2,x)\mathfrak{A}\]

невозможно, потому что

\[ x \]

не содержит свободных членов, а

\[(2,x)\mathfrak{A}\]

содержит?

Это зависит от идеала $\mathfrak A$ (вообще-то, свободные члены не у идеала, а у элементов идеала). Док-во невозможности может быть примерно таким (от противного): сначала докажите, что $\mathfrak A\subset(x)$, потом - что $x\notin(2,x)\mathfrak A$.

[ShMaxG]

Ага, понятно, спасибо большое.

[ShMaxG]

Кстати, у нас тут доминирует мнение, что да, будет, причем аргументируют это тем, что

\[(2,x) \supset (x)\]

. Какое все-таки правильное определение собственного делителя для идеалов? (Извините что вновь поднимаю тему)

[Профессор Снэйп]

Я заметил, что во втором сообщении темы RIP дал необходимое определение.

RIP писал(а):

Вообще-то, это означает, что существует идеал $\mathfrak A\subsetneq\mathbb Z[x]$, такой что $(x)=(2,x)\mathfrak A$...

Вообще-то я RIP'у доверяю. Хотя, признаюсь честно, понятие "собственный делитель" мне раньше не встречалось (или встречалось, но давно, и я его уже успел забыть).

[RIP]

Я был неправ, делимость идеалов, действительно, определяется через включение. Прошу прощения за дезинформацию.

[ShMaxG]

значит, то определение ни к чему не относится?

[RIP]

ShMaxG писал(а):

значит, то определение ни к чему не относится?

Выходит, что так. Просто в дедекиндовых кольцах эти определения делимости эквивалентны, а я привык иметь дело только с такими кольцами, вот и перепутал.

Добавлено спустя 5 минут 42 секунды:

На всякий случай напишу: искомая фраза означает просто, что $(x)\subsetneq(2,x)$.

[Профессор Снэйп]

Ага! $(x)$ --- это многочлены с нулевым свободным членом, а $(2,x)$ --- многочлены с чётным свободным членом.