2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 вопрос про собственный делитель
Сообщение04.05.2008, 13:58 
Аватара пользователя
Скажите пожалуйста, правильно ли я понимаю, что идеал $(x)$ в кольце многочленов $\mathbb{Z}\left[ x \right]$ над кольцом целых чисел $\mathbb{Z}$ имеет в качестве собственного делителя идеал $(2,x)$, если $\exists p(x) \in \mathbb{Z}\left[ x \right]$ такой что $(x) = p(x)(2,x)$.

 
 
 
 
Сообщение04.05.2008, 16:56 
Аватара пользователя
Вообще-то, это означает, что существует идеал $\mathfrak A\subsetneq\mathbb Z[x]$, такой что $(x)=(2,x)\mathfrak A$, но такого идеала, очевидно, не существует.

 
 
 
 
Сообщение04.05.2008, 19:42 
Аватара пользователя
Т.е. идеал \[(x)\] в кольце многочленов \[\mathbb{Z}\left[ x \right]\] НЕ имеет в качестве собственного делителя идеал \[(2,x)\] ?
Наверно даже такой пример можно привести: т.к. \[x \in (x)\], то должен \[\exists p(x) \in \mathfrak{A}\] и \[\exists q(x) \in (2,x)\], такие, что \[
x = p(x) \cdot q(x)
\], но это невозможно.

 
 
 
 
Сообщение04.05.2008, 19:49 
Аватара пользователя
ShMaxG писал(а):
Т.е. идеал \[(x)\] в кольце многочленов \[\mathbb{Z}\left[ x \right]\] НЕ имеет в качестве собственного делителя идеал \[(2,x)\] ?

Да.

ShMaxG писал(а):
Наверно даже такой пример можно привести: т.к. \[x \in (x)\], то должен \[\exists p(x) \in \mathfrak{A}\] и \[\exists q(x) \in (2,x)\], такие, что \[
x = p(x) \cdot q(x)
\], но это невозможно.

Это неправильное рассуждение. Вспомните, как определяется произведение идеалов.

 
 
 
 
Сообщение04.05.2008, 19:57 
Аватара пользователя
Произведением идеалов I и J называется идеал IJ, порождённый всеми произведениями ab, где a — элемент идеала I, b — элемент идеала J.

Т.е. \[x = (2,x)\mathfrak{A}\] невозможно, потому что \[
(x)
\]
не содержит свободных членов, а \[(2,x)\mathfrak{A}\] содержит?

 
 
 
 
Сообщение04.05.2008, 20:19 
Аватара пользователя
ShMaxG писал(а):
Произведением идеалов I и J называется идеал IJ, порождённый всеми произведениями ab, где a — элемент идеала I, b — элемент идеала J.

Да, т.е. множество (конечных) сумм таких произедений. В данном случае $(2,x)\mathfrak A=2\mathfrak A+x\mathfrak A$.

ShMaxG писал(а):
Т.е. \[(x) = (2,x)\mathfrak{A}\] невозможно, потому что \[
x
\] не содержит свободных членов, а \[(2,x)\mathfrak{A}\] содержит?

Это зависит от идеала $\mathfrak A$ (вообще-то, свободные члены не у идеала, а у элементов идеала). Док-во невозможности может быть примерно таким (от противного): сначала докажите, что $\mathfrak A\subset(x)$, потом - что $x\notin(2,x)\mathfrak A$.

 
 
 
 
Сообщение04.05.2008, 20:27 
Аватара пользователя
Ага, понятно, спасибо большое.

 
 
 
 
Сообщение06.05.2008, 21:01 
Аватара пользователя
Кстати, у нас тут доминирует мнение, что да, будет, причем аргументируют это тем, что \[(2,x) \supset (x)\]. Какое все-таки правильное определение собственного делителя для идеалов? (Извините что вновь поднимаю тему)

 
 
 
 
Сообщение06.05.2008, 21:08 
Аватара пользователя
Я заметил, что во втором сообщении темы RIP дал необходимое определение.

RIP писал(а):
Вообще-то, это означает, что существует идеал $\mathfrak A\subsetneq\mathbb Z[x]$, такой что $(x)=(2,x)\mathfrak A$...


Вообще-то я RIP'у доверяю. Хотя, признаюсь честно, понятие "собственный делитель" мне раньше не встречалось (или встречалось, но давно, и я его уже успел забыть).

 
 
 
 
Сообщение06.05.2008, 21:12 
Аватара пользователя
Я был неправ, делимость идеалов, действительно, определяется через включение. Прошу прощения за дезинформацию. :oops: :(

 
 
 
 
Сообщение06.05.2008, 21:15 
Аватара пользователя
значит, то определение ни к чему не относится?

 
 
 
 
Сообщение06.05.2008, 21:32 
Аватара пользователя
ShMaxG писал(а):
значит, то определение ни к чему не относится?

Выходит, что так. Просто в дедекиндовых кольцах эти определения делимости эквивалентны, а я привык иметь дело только с такими кольцами, вот и перепутал.

Добавлено спустя 5 минут 42 секунды:

На всякий случай напишу: искомая фраза означает просто, что $(x)\subsetneq(2,x)$.

 
 
 
 
Сообщение06.05.2008, 21:49 
Аватара пользователя
Ага! $(x)$ --- это многочлены с нулевым свободным членом, а $(2,x)$ --- многочлены с чётным свободным членом.

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group