Уравнение всех матов в шахматах в один ход

[arseniiv]

regression в сообщении #1175636 писал(а):

Да-да, уже ближе к тому, чем я занимаюсь

Так вы этим ещё и серьёзно занимаетесь? А зачем? Как уже было замечено,

Pphantom в сообщении #1175441 писал(а):

всякое программное решение задачи всегда можно превратить в "формульное" и наоборот

так что тривиальное решение — написать программу и переписать её в виде одной громоздкой (и, как должно быть ясно, никому не нужной) формулы.

[regression]

arseniiv в сообщении #1175638 писал(а):

regression в сообщении #1175636 писал(а):

Да-да, уже ближе к тому, чем я занимаюсь

Так вы этим ещё и серьёзно занимаетесь? А зачем? Как уже было замечено,

Pphantom в сообщении #1175441 писал(а):

всякое программное решение задачи всегда можно превратить в "формульное" и наоборот

так что тривиальное решение — написать программу и переписать её в виде одной громоздкой (и, как должно быть ясно, никому не нужной) формулы.

Занимаюсь в том смысле, что ищу решение. Я студент еще пока, можно таким заниматься. Автор уж больно интересный человек.

[arseniiv]

А, ясно.

[Лукомор]

(Оффтоп)

regression в сообщении #1175636 писал(а):

товарищ Лукомор

"А чего сразу Лукомор?!"
(с) Лукомор

-- Сб дек 10, 2016 18:29:31 --

regression в сообщении #1175648 писал(а):

Занимаюсь в том смысле, что ищу решение.

А что в данной постановке будет решением?!
Уравнение?!
А чем тогда будет решение уравнения?

-- Сб дек 10, 2016 18:34:43 --

Лукомор в сообщении #1175598 писал(а):

Я во второй позиции за белых пошел бы просто ладьей на $h 3$ без шаха, или слоном... куда-нибудь...

Компьютер подсказал, что пойдя ладьей на $h 4$ можно поставить мат в 7 ходов... И это лучший ход...

-- Сб дек 10, 2016 18:42:17 --

regression в сообщении #1175379 писал(а):

Используя только положение фигур на шахматной доске построить уравнение всех шахов (упрощенная версия - матов).

Из личного опыта, я бы посоветовал попробовать написать хоть какое-нибудь уравнение для игры "Крестики - Нолики".
И, если получится, переходить, допустим, к мини-шашкам на доске 4х4.
И, уже пройдя все эти уровни, серьезно думать о шахматах.
Потому что для "К-Н" проще сформулировать задачу, и будет наглядно ее решение, и нет двусмысленных позиций...

[arseniiv]

Лукомор в сообщении #1175744 писал(а):

А что в данной постановке будет решением?!
Уравнение?!
А чем тогда будет решение уравнения?

Ой ладно, это же оффтоп. С какой стати решением задачи «найти уравнение» не может быть уравнение?

[Лукомор]

arseniiv в сообщении #1175752 писал(а):

С какой стати решением задачи «найти уравнение» не может быть уравнение?

Оно и будет решением задачи, если удастся его найти...
Но как-то не привычно.
Можно найти пару чисел которые будут решением квадратного уравнения.
Можно найти функцию, которая будет решением дифференциального уравнения.
А уравнение может быть решением чего? Хотя... Единственное, что приходит в голову:"Найти уравнение линии..." из аналитической геометрии...

[arseniiv]

(О Диэдр)

Лукомор в сообщении #1175765 писал(а):

А уравнение может быть решением чего?

А текущей постановки задачи недостаточно? «Найти уравнение, обращающееся в тождество, если в него подставить то-то и то-то вместо таких-то переменных» — вполне точно несмотря на практическую сомнительность сомнительную практичность.

[Лукомор]

arseniiv в сообщении #1175771 писал(а):

А текущей постановки задачи недостаточно? «Найти уравнение, обращающееся в тождество, если в него подставить то-то и то-то вместо таких-то переменных» — вполне точно несмотря на практическую сомнительность сомнительную практичность.

Пока нет постановки задачи, трудно говорить о чем-либо конкретно.
Я могу найти уравнение прямой, которая образуется пересечением двух плоскостей, например.
Но для этого в условии должны быть прописаны уравнения именно этих плоскостей.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Лукомор в сообщении #1175779 писал(а):

Пока нет постановки задачи, трудно говорить о чем-либо конкретно.

Это не значит, что надо пробовать вместо этого все варианты возможного продолжения разговора.

[Лукомор]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1175795 писал(а):

Это не значит, что надо пробовать вместо этого все варианты возможного продолжения разговора.

Это значит, что я плавно подвожу к вопросу, правильно ли искать некое таинственное уравнение, или все же нужно искать функцию, аргументом которой будет некое натуральное число - номер позиции, а значением функции для данного аргумента... Впрочем, я пока помолчу о том, что будет значением функции для данного аргумента.
Хочу сначала прочитать мнение ТС по этому вопросу.

[y384]

regression в сообщении #1175379 писал(а):

Приветствую. Недавно в руки попал дневник одного небезызвестного математика с интересной биографией. Нашел там очень интересную задачу, вследствие чего решил с вами поделиться. Предлагаю обсудить построение модели, ну и само решение (для желающих).
Текст.
Используя только положение фигур на шахматной доске построить уравнение всех шахов (упрощенная версия - матов).

От меня: как я понял из содержания остальной части дневника, автор предлагает составить такое уравнение, что подставив туда каким-то образом данные о положении фигур, в случае, если мат (шах) можно поставить одним действием, уравнение обращается в тождество.

Можно попробовать описать нужное нам множество точек (аффинное многообразие) через систему полиномов над кольцом многочленов нескольких переменных. Например, возможное множество координат любой фигуры (включая короля) на пустой шахматной доске можно описать полиномом $F(x,y)=((x)\cdot(x-1)\cdot(x-2)\cdot...\cdot(x-7))^2+((y)\cdot(y-1)\cdot(y-2)\cdot...\cdot(y-7))^2$. Теперь если подставить координаты любой фигуры в данный полином, то полином вернёт ноль в случае размещения фигуры на шахматной доске, и не ноль, если координаты выходят за пределы шахматной доски. Пока не вижу принципиальных трудностей, чтобы относительно небольшим множеством полиномов описать нужное аффинное многообразие (ниже попробую разобрать построение примера интересующего нас полинома).

Пусть мы описали всё поведение наших фигур через множество полиномов $\left\langle f_{1}(x_{1},y_{1},...,x_{32},y_{32}),...,f_{k}(x_{1},y_{1},...,x_{32},y_{32})\right\rangle \subseteq R[x_{1},y_{1},...,x_{32},y_{32}]$ (идеал в кольце многочленов нескольких переменных). Переменные $x_{1},y_{1},...,x_{32},y_{32}$ это координаты для каждой шахматной фигуры (всего 32 фигуры). Теперь составим один многочлен, который обнуляется на нашем аффинном многообразии: $g(x_{1},y_{1},...,x_{32},y_{32})=f_{1}^2(x_{1},y_{1},...,x_{32},y_{32})+...+f_{k}^2(x_{1},y_{1},...,x_{32},y_{32})$. После построения подобного полинома мы получим функцию, которая возвращает ноль, если король под шахом.

Давайте для примера построим нужный нам полином, отвечающий за множество на поле тех клеток, которые шахует ферзь. Пусть для описания положения ферзя у нас зарезервированы переменные $(x_{1},y_{1})$, а для положения короля координаты $(x_{2},y_{2})$. Тогда построим такой полином, который возвращает ноль, если король не шахуется, и не ноль, если шахуется: $H(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}) = $$\sum\limits_{i=1}^{64} u_{i}(x_{1},y_{1})\cdot v_{i}(x_{2},y_{2})$$ $. Где полином u_{i}(x_{1},y_{1}) является нулём тогда и только тогда, когда координаты ферзя не соответствуют i-ой клеточке. Полином же v_{i}(x_{2},y_{2}) не равен нулю тогда и только тогда, когда король не на шахуемых клетках для ферзя на клетке под номером i. Подобные полиномы нужно строить так, как мы ранее строили полином $F(x,y).

Отметим:
1) Данным полиномом мы описали излишни много точек, которые обнуляются. Объединение таких полиномов для разных фигур в систему (в идеал) является пересечением необходимых нам аффинных многообразий (с помощьюю новых полиномов описываем новые фигуры).
2) Описанный нами полином для ферзя немного усложнится, если мы станем учитывать и те фигуры, которые будут мешать ферзю шаховать нужные клетки. Но на мой взгляд точно такой же техникой, которую мы использовали выше, можно описать и это.
3) Не хочу особо думать, но так как координат у нас конечное множество, то (на мой взгляд) и инверсию значений полинома с нуля на не ноль и с не нуля на ноль сделать будет не сложно.

PS
Попробуйте решить задачу так.

[Лукомор]

y384 в сообщении #1177773 писал(а):

Например, возможное множество координат любой фигуры (включая короля) на пустой шахматной доске можно описать полиномом $F(x,y)=((x)\cdot(x-1)\cdot(x-2)\cdot...\cdot(x-7))^2+((y)\cdot(y-1)\cdot(y-2)\cdot...\cdot(y-7))^2$.

Я бы назвал такой подход "фигуроцентрическим".
То есть для каждой фигуры мы задаем ее координаты $(x, y)$.
IMHO, более перспективен "клеткоцентрический" подход, когда описывается множество состояний каждой клетки на доске, например, пустой клетке с координатами $(x,y)$ соответствует значение некоторой функции $g(x,y)=0$.
Клетке, на которой стоит белая пешка, соответствует значение функции $g(x,y)=+1$, черная пешка $g(x,y)=-1$, для клетки, на которой стоит белый король $g(x,y)=+6$, и.т.д...
А почему бы и нет?

[y384]

Лукомор в сообщении #1177805 писал(а):

IMHO, более перспективен "клеткоцентрический" подход, когда описывается множество состояний каждой клетки на доске, например, пустой клетке с координатами $(x,y)$ соответствует значение некоторой функции $g(x,y)=0$.
Клетке, на которой стоит белая пешка, соответствует значение функции $g(x,y)=+1$, черная пешка $g(x,y)=-1$, для клетки, на которой стоит белый король $g(x,y)=+6$, и.т.д...
А почему бы и нет?

Можно и от клеток попробовать отталкиваться. Просто в подобных задачах обычно работают с системами полиномиальных уравнений в кольцах многочленов многих переменных и с такими множествами точек, которые обнуляют данные многочлены (аффинные многообразия). При подобном подходе мы работаем с аффинными многообразиями как с множествами, используя их объединения, пересечения и геометрические разложения на более простые.
Посмотрите книгу Кокс Д., Литтл Д., О`Ши Д. "Идеалы, многообразия и алгоритмы. Ведение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры", главу 6. Здесь всё так же, только легче - не надо никаких обратных задач решать.

[Лукомор]

y384 в сообщении #1177984 писал(а):

Здесь всё так же, только легче - не надо никаких обратных задач решать.

1. Насколько я понял ТС, здесь не легче, поскольку в его задаче спрашиваются не только те шахи-маты, которые можно объявить одним ходом, а и через два, три... эн... ходов...
2. Как я уже отмечал в начале темы, сами по себе шахи лучшими ходами не являются, и могут быть бесполезны, а то и вредны для исхода партии. Поэтому я жду камбэк топикстартера, и держу в уме совсем другую задачу, для которой проще и лучше отталкиваться именно от клеток, нежели от фигур...

[arseniiv]

Лукомор в сообщении #1178000 писал(а):

поскольку в его задаче спрашиваются не только те шахи-маты, которые можно объявить одним ходом, а и через два, три... эн... ходов...

Да ладно?