Векторный потенциал!

[StaticZero]

Для малого отрезка $\mathrm d \mathbf s$ с линейным током $I$ он определяется в виде дифференциального соотношения

$$ \mathrm d \mathbf A = \dfrac{I \ \mathrm d \mathbf l}{c r}, $$

где $r$ -- модуль вектора, проведённого в точку наблюдения из отрезка тока, который наблюдён.

Рассмотрим кольцо с постоянным (в том числе вдоль провода) током $I$ радиуса $R$. Нужно найти векторный потенциал на оси этого кольца на расстоянии $z$ от его центра. (направление -- пусть туда, куда и $\mathbf H$).

Вот я выписываю интегральное соотношение.

$$ \mathbf A = \oint \limits_{\Gamma} \dfrac{I \ \mathrm d \mathbf s}{c r} = \dfrac{I R}{c r} \oint \limits_{\Gamma} (\cos \alpha \ \mathrm d \alpha \ \mathbf j - \sin \alpha \ \mathrm d \alpha \ \mathbf i) = \dfrac{IR}{cr} \int \limits_0^{2 \pi} (\cos \alpha \ \mathrm d \alpha \ \mathbf j - \sin \alpha \ \mathrm d \alpha \ \mathbf i) = \mathbf 0, $$

где $\Gamma$ -- провод. Где моя ошибка?

[DimaM]

StaticZero в сообщении #1175333 писал(а):

Где моя ошибка?

Все, вроде, верно. А почему вы думаете, что есть ошибка?

[StaticZero]

Так ведь $\mathbf H = \operatorname{rot} \mathbf A = \mathbf 0$.

[DimaM]

StaticZero в сообщении #1175336 писал(а):

Так ведь $\mathbf H = \operatorname{rot} \mathbf A = \mathbf 0$.

Вы не можете посчитать ротор, зная $\mathbf A$ только на оси.

[StaticZero]

Но...ведь я знаю три компоненты. И определитель тогда с нулевой строкой получается.

[DimaM]

StaticZero в сообщении #1175339 писал(а):

Но...ведь я знаю три компоненты.

Вам нужно знать $\dfrac{\partial(rA_\varphi)}{\partial r}$. Для этого нужно найти $A_\varphi$ также и при $r\ne 0$, то есть вне оси.

[StaticZero]

Угу. То есть в этом случае $\mathbf A$ бесполезен.
И нахрена он вообще нужен?...

[DimaM]

StaticZero в сообщении #1175341 писал(а):

То есть в этом случае $\mathbf A$ бесполезен.

Просто вы не умеете его готовить считать ;).
На больших расстояниях проще $\mathbf A$ найти - у него всего одна ненулевая компонента.

[StaticZero]

DimaM в сообщении #1175342 писал(а):

Просто вы не умеете его готовить считать ;).

Да я посмотрел в методичке -- там сразу навалили эллиптических интегралов, выглядит неаппетитно. Дифференцировать я это не хочу потому что не умею. На оси тогда уж напрямую посчитать легче...

[DimaM]

StaticZero в сообщении #1175344 писал(а):

На оси тогда уж напрямую посчитать легче...

На оси да. Но это школьная задачка.
А вы попробуйте в стороне, чтоб показать, что поле действительно дипольное.

[rustot]

StaticZero в сообщении #1175344 писал(а):

На оси тогда уж напрямую посчитать легче

Так из $\vec{A}(x,y,z) = 0$ не следует $\nabla\times\vec{A}(x,y,z) = 0$. вы ничего не проверите посчитав только на оси, нужно посчитать во всех окрестных точках чтобы найти $\nabla\times\vec{A}(x,y,z)$.

Заряды расположенные на одном и том же расстоянии от данной точки, но с совсем разных сторон и двигающиеся с одной и той же скоростью создают в этой точке одно и то же $\vec{A}$ но совсем разное $\nabla\times\vec{A}$, именно потому-что от окрестных точек они находятся уже на разных расстояниях