2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интересные ряды
Сообщение07.12.2016, 02:45 
Аватара пользователя


14/08/12
309
Ряды вида $$F(a,b)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\sqrt{k^2+ak+b}}$$ обнаруживают интересные свойства.
Пока что сделаю обзор для $a>0$ и $b>0$.
Интересные свойства:
$$F(1,1)+F(3,3)=1$$
$$F(2,1)+F(4,4)=1$$
И далее, для $n\in\mathbb{N}$,
$$F(n+1,1)+F(n+3,n+3)=1$$
Другая закономерность:
$$F(1,2)+F(3,4)=\frac{1}{\sqrt{2}}$$
$$F(1,3)+F(3,5)=\frac{1}{\sqrt{3}}$$
И далее,
$$F(1,n)+F(3,n+2)=\frac{1}{\sqrt{n}}$$
И некоторые приближённые значения:
$F(2,2)-F(2,3)\approx0.10100006$
$10F(2,9)-F(2,10)\approx1.60002$
$F(1,\frac 1 {25})-1-2\log_{3}7\approx0.00001$
А также
$$\sum_{i=0}^{100}F(P_{2i+1},P_{2i+2})\approx3.99993$$
$P_n$ - n-е простое число, начиная с $P_1=1$.
$$\sum_{i=0}^{\infty}F(\Phi_{2i+1},\Phi_{2i+2})-e^{\sqrt{2}-1}\approx0.0007$$
$\Phi_n$ - числа Фибоначчи.
При $a\to\infty$:
$F(a,b)\to\frac 1 {\sqrt{b}}$
Много случаев просто красивых чисел, приведу несколько:
$F(1,4)+F(4,2)\approx0.750575725$
$F(5,7)\approx0.22117772$
$F(24,7)^{-1}\approx3.654356434$

***

Когда же вводим функцию с суммированием начиная с единицы:
$$G(a,b)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\sqrt{k^2+ak+b}}$$
то получаем такие, например, соотношения:
$$G(0,n)+F(2,n+1)=0$$
для натуральных $n$ и $n=0$.
И взаимосвязь с закономерностями для $F$ видна здесь:
$$G(1,n)+F(3,n+3)=0$$
$$G(n+1,1)+F(n+3,n+3)=0$$

Можно, похоже, вывести эти свойства просто из вида рядов, но не все очевидны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересные ряды
Сообщение07.12.2016, 08:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Если оба корня действительны (а может даже это необязательно), то вашу функцию $F$ можно свести к Трансцедентной функции Лерча.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересные ряды
Сообщение07.12.2016, 14:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Alex_J в сообщении #1174783 писал(а):
Ряды вида $$F(a,b)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\sqrt{k^2+ak+b}}$$ обнаруживают интересные свойства.
Пока что сделаю обзор для $a>0$ и $b>0$.
Интересные свойства:
$$F(1,1)+F(3,3)=1$$
$$F(2,1)+F(4,4)=1$$

Правильно ли я понимаю, что существует забавное обобщение:
Ряды вида $$F(a,b,\gamma )=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k^2+ak+b)^\gamma }$$ для $a,b,\gamma >0$ обнаруживают интересные свойства:
$$F(1,1, \gamma)+F(3,3, \gamma)=1$$
$$F(2,1,\gamma)+F(4,4,\gamma)=1$$
Ну и так далее. У Вас $\gamma =1/2$, но смысл этих формул совсем в другом, как видите.

-- 07.12.2016, 14:08 --

PS. Совет: для суммирования этих выражений проще использовать пальцы одной руки, чем калькулятор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересные ряды
Сообщение08.12.2016, 00:45 
Аватара пользователя


14/08/12
309
grizzly в сообщении #1174842 писал(а):
для $a,b,\gamma >0$ обнаруживают интересные свойства:



Сохраняется только это свойство, не так ли? )

kp9r4d

Благодарю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересные ряды
Сообщение08.12.2016, 02:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Alex_J в сообщении #1175060 писал(а):
Сохраняется только это свойство, не так ли? )
Нет, не так. Ничего Вы не поняли. Возьмите карандаш в руки и распишите пару членов любого из Ваших открытий (если пальцев одной руки Вам для этого мало) -- оцените сами уровень банальности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group