Интересные ряды

[Alex_J]

Ряды вида

$$F(a,b)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\sqrt{k^2+ak+b}}$$

обнаруживают интересные свойства.
Пока что сделаю обзор для $a>0$ и $b>0$.
Интересные свойства:

$$F(1,1)+F(3,3)=1$$

$$F(2,1)+F(4,4)=1$$

И далее, для $n\in\mathbb{N}$,

$$F(n+1,1)+F(n+3,n+3)=1$$

Другая закономерность:

$$F(1,2)+F(3,4)=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$F(1,3)+F(3,5)=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

И далее,

$$F(1,n)+F(3,n+2)=\frac{1}{\sqrt{n}}$$

И некоторые приближённые значения:
$F(2,2)-F(2,3)\approx0.10100006$
$10F(2,9)-F(2,10)\approx1.60002$
$F(1,\frac 1 {25})-1-2\log_{3}7\approx0.00001$
А также

$$\sum_{i=0}^{100}F(P_{2i+1},P_{2i+2})\approx3.99993$$

$P_n$ - n-е простое число, начиная с $P_1=1$.

$$\sum_{i=0}^{\infty}F(\Phi_{2i+1},\Phi_{2i+2})-e^{\sqrt{2}-1}\approx0.0007$$

$\Phi_n$ - числа Фибоначчи.
При $a\to\infty$:
$F(a,b)\to\frac 1 {\sqrt{b}}$
Много случаев просто красивых чисел, приведу несколько:
$F(1,4)+F(4,2)\approx0.750575725$
$F(5,7)\approx0.22117772$
$F(24,7)^{-1}\approx3.654356434$

***

Когда же вводим функцию с суммированием начиная с единицы:

$$G(a,b)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\sqrt{k^2+ak+b}}$$

то получаем такие, например, соотношения:

$$G(0,n)+F(2,n+1)=0$$

для натуральных $n$ и $n=0$.
И взаимосвязь с закономерностями для $F$ видна здесь:

$$G(1,n)+F(3,n+3)=0$$

$$G(n+1,1)+F(n+3,n+3)=0$$

Можно, похоже, вывести эти свойства просто из вида рядов, но не все очевидны.

[kp9r4d]

Если оба корня действительны (а может даже это необязательно), то вашу функцию $F$ можно свести к Трансцедентной функции Лерча.

[grizzly]

Alex_J в сообщении #1174783 писал(а):

Ряды вида

$$F(a,b)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\sqrt{k^2+ak+b}}$$

обнаруживают интересные свойства.
Пока что сделаю обзор для $a>0$ и $b>0$.
Интересные свойства:

$$F(1,1)+F(3,3)=1$$

$$F(2,1)+F(4,4)=1$$

Правильно ли я понимаю, что существует забавное обобщение:
Ряды вида

$$F(a,b,\gamma )=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k^2+ak+b)^\gamma }$$

для $a,b,\gamma >0$ обнаруживают интересные свойства:

$$F(1,1, \gamma)+F(3,3, \gamma)=1$$

$$F(2,1,\gamma)+F(4,4,\gamma)=1$$

Ну и так далее. У Вас $\gamma =1/2$, но смысл этих формул совсем в другом, как видите.

-- 07.12.2016, 14:08 --

PS. Совет: для суммирования этих выражений проще использовать пальцы одной руки, чем калькулятор.

[Alex_J]

grizzly в сообщении #1174842 писал(а):

для $a,b,\gamma >0$ обнаруживают интересные свойства:

Сохраняется только это свойство, не так ли? )

kp9r4d

Благодарю.

[grizzly]

Alex_J в сообщении #1175060 писал(а):

Сохраняется только это свойство, не так ли? )

Нет, не так. Ничего Вы не поняли. Возьмите карандаш в руки и распишите пару членов любого из Ваших открытий (если пальцев одной руки Вам для этого мало) -- оцените сами уровень банальности.