Граничные условия

[kuskus]

помогите разобраться с граничными условиями
дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac d {dx}f_1(x) + c_0f_0(x)=Q(x)\\ 2\frac d {dx}f_2(x)+\frac d {dx} f_0 (x)+ c_1f_1(x)=0\\ 3\frac d {dx}f_3(x)+2\frac d {dx} f_1(x) + c_2f_2(x)=0\\ 3\frac d {dx}f_2(x) + c_3f_3(x)=0 \end{cases} $$

с граничными условиями:

$$q_{0,0}f_0(x)+q_{0,1}f_1(x)+q_{0,2}f_2(x)+q_{0,3}f_3(x)=0$$

$$q_{1,0}f_0(x)+q_{1,1}f_1(x)+q_{1,2}f_2(x)+q_{1,3}f_3(x)=0$$

мы можем свести уравнения к следующему виду:

$$\left(\frac {d^2} {dx^2}-a\right)\left(\frac {d^2} {dx^2}-b\right)f_0(x)=\left(c\frac {d^2} {dx^2}-d\right)Q(x)$$

и решить два уравнения по отдельности:

$$\left(\frac {d^2} {dx^2}-a\right)f_a(x)=Q_a(x)$$

$$\left\left(\frac {d^2} {dx^2}-b\right)f_b(x)=Q_b(x)$$

где

$$f_0=f_a+f_b$$

вопрос в том, каким граничным условиям будут удовлетворять эти два уравнения?

[Munin]

Выразите $f_0,f_1,f_2,f_3$ обратно через $f_a,f_b,$ и подставьте в граничные условия исходной задачи.

[kuskus]

извините, но я не понимаю, всё равно)

[Munin]

Ну вы же сводили как-то уравнения к другому виду? При помощи каких-то замен переменных, или как?

[kuskus]

просто подстановкой

[Munin]

Вот эту же самую подстановку надо сделать и в уравнениях граничных условий.

[Red_Herring]

kuskus
Сколько у Вас будет неизвестных констант в общем решении системы?

Сколько должно быть граничных условий? Пока я не вижу ни одного, поскольку

kuskus в сообщении #1174669 писал(а):

с граничными условиями:

$$q_{0,0}f_0(x)+q_{0,1}f_1(x)+q_{0,2}f_2(x)+q_{0,3}f_3(x)=0$$

это уравнение, а не граничное условие (и если это так, то у Вас получается переопределенна система 6-ти уравнений с 4-мя неизвестными).

[kuskus]

Red_Herring в сообщении #1174708 писал(а):

kuskus
Сколько у Вас будет неизвестных констант в общем решении системы?

Сколько должно быть граничных условий? Пока я не вижу ни одного, поскольку

kuskus в сообщении #1174669 писал(а):

с граничными условиями:

$$q_{0,0}f_0(x)+q_{0,1}f_1(x)+q_{0,2}f_2(x)+q_{0,3}f_3(x)=0$$

это уравнение, а не граничное условие (и если это так, то у Вас получается переопределенна система 6-ти уравнений с 4-мя неизвестными).

в решении системы будет 4 неизвестные константы
задача одномерна, следовательно имеется две границы
на каждой из них задано два уравнения связи, что даёт необходимые четыре условия

я не понимаю как воспользоваться советом Munin, может кто то из читающих тему знает?

[Red_Herring]

kuskus в сообщении #1174669 писал(а):

вопрос в том, каким граничным условиям будут удовлетворять эти два уравнения?

А разве уравнения удовлетворяют каким-то граничным условиям? Удовлетворяют решения.

Наверняка даже если вы разделите уравнения, решения будут "запутаны" через граничные условия.

kuskus в сообщении #1174710 писал(а):

на каждой из них задано два уравнения связи, что даёт необходимые четыре условия

Тогда следует написать их как граничные условия.

[kuskus]

вы правы, я не так выразился
требуется найти граничные условия, которым удовлетворяют решения уравнений

$$f_a, f_b$$

граничные условия даны как недостающие связи, что в этом не правильно?

[Red_Herring]

kuskus в сообщении #1174728 писал(а):

граничные условия даны как недостающие связи, что в этом не правильно?

Неправильно: не указаны точки, в которых они удовлетворяются. Как записано, означает, что "в любой точке"

[kuskus]

ну разумеется на границах)

[Red_Herring]

kuskus в сообщении #1174730 писал(а):

ну разумеется на границах)

Запишите граничные условия с указанием точек, потому что, разумеется, как записано означает, что в любой точке.

[kuskus]

так?
граничные условия:

$$q_{0,0}f_0(x_1)+q_{0,1}f_1(x_1)+q_{0,2}f_2(x_1)+q_{0,3}f_3(x_1)=0$$

$$q_{1,0}f_0(x_1)+q_{1,1}f_1(x_1)+q_{1,2}f_2(x_1)+q_{1,3}f_3(x_1)=0$$

$$q_{2,0}f_0(x_2)+q_{2,1}f_1(x_2)+q_{2,2}f_2(x_2)+q_{2,3}f_3(x_2)=0$$

$$q_{3,0}f_0(x_2)+q_{3,1}f_1(x_2)+q_{3,2}f_2(x_2)+q_{3,3}f_3(x_2)=0$$

[Red_Herring]

Так.

Как Вы приводите систему к системе 2х у-й 2го порядка?