Закон распределения скоростей для жидкости между цилиндрами

[Dellghin]

Здравствуйте. Есть такая задача:
Между двумя соосными цилиндрами расположена жидкость с коэффициентом вязкости $\mu$, движущаяся под действием постоянного перепада давления. Градиент давления вдоль осей цилиндров равен $g$. Вывести дифференциальное уравнение для закона распределения скоростей по поперечному сечению кольцевого зазора.
Я нашел решение, где составляется уравнение движения для бесконечно малого кольцевого элемента:

$g \cdot 2\pi r dr - \tau \cdot 2\pi r + (\tau + d \tau) \cdot 2\pi (r+dr) = 0 $, где $\displaystyle \tau = \mu \frac{du}{dr}$. Объясните, пожалуйста, почему при радиусе $r$ сила трения направлена в одну сторону, а при $r+dr$ в другую, и зачем вообще домножать на длину окружности.

Можно ли эту задачу решить через уравнения Навье-Стокса?

(Ответ получается $\displaystyle grdr + \mu d \left( r \frac{du}{dr} \right) = 0$)

[Pphantom]

Вы уверены, что цилиндры не вращаются?

[DimaM]

Картинка и формула, похоже, от другой задачи.

[Pphantom]

Тоже вариант. Либо ТС нашел решение задачи о течении Куэтта (и не усмотрел разницы в формулировках условий), либо, наоборот, упустил существенную деталь в условии.

[Dellghin]

Извините, вот правильный рисунок.

Но он из другого учебника и поэтому там ещё вводится длина $l$, но в моем решении её почему-то нет.
Формула та же, за исключением домножения второго и третьего слагаемого на $l$.

[DimaM]

Dellghin в сообщении #1174677 писал(а):

Но он из другого учебника и поэтому там ещё вводится длина $l$, но в моем решении её почему-то нет.

Интересно, куда она из вашего решения делась .
Как вы думаете, что такое $\tau$ в формуле? Как эта величина связана с силой трения?
По направлению: оно выбрано условно. Вполне возможно, что сила направлена в другую сторону (тогда ее величина в формуле будет отрицательной).

[Dellghin]

Я вообще не знаю, зачем там вводить $l$, в условии моей задачи написано, что это постоянный перепад давления, то есть получается не зависит от длины, то есть в итоге её вообще быть не должно. (А в той задаче, из которой рисунок там перепад $g$ на длине трубы $l$).
Как я понял, $\tau$ это касательное напряжение, только я не понимаю, почему оно по направлению сверху и снизу отличается, не очень силен в теории.

[DimaM]

Dellghin в сообщении #1174697 писал(а):

в условии моей задачи написано, что это постоянный перепад давления, то есть получается не зависит от длины

Нет, постоянный - это который не зависит от времени. Длине перепад давлений прямо пропорционален (потому что по условию постоянный градиент).

Dellghin в сообщении #1174697 писал(а):

Как я понял, $\tau$ это касательное напряжение

Как теперь, зная касательное напряжение, найти силу?

Dellghin в сообщении #1174697 писал(а):

только я не понимаю, почему оно по направлению сверху и снизу отличается

Просто задано условно положительное направление.

[Dellghin]

DimaM в сообщении #1174701 писал(а):

Как теперь, зная касательное напряжение, найти силу?

Всё, понял. Нужно умножить на площадь.

Извините за глупый вопрос, но почему $\tau$ и $\tau + d \tau$ должны иметь разные направления, а не одинаковые? Я это имел ввиду.

И по поводу $l$: в формулировке моей задачи о ней вообще ничего не говорится. То есть условие сформулировано с ошибкой?

[DimaM]

Dellghin в сообщении #1174705 писал(а):

Извините за глупый вопрос, но почему $\tau$ и $\tau + d \tau$ должны иметь разные направления, а не одинаковые?

Еще раз: направления выбраны условно. Если сила направлена по стрелке (говорить о направлении у касательного напряжения нехорошо), то ее величина положительна, если против - отрицательна.

Dellghin в сообщении #1174705 писал(а):

И по поводу $l$: в формулировке моей задачи о ней вообще ничего не говорится. То есть условие сформулировано с ошибкой?

Выше вы писали "нужно умножить на площадь" - площадь наверняка зависит от $l$.
Далее: задан градиент давления - как найти перепад? Наверняка он тоже зависит от $l$.
Напишите силы, действующие на элемент жидкости от $r$ до $r+dr$ и длины $l$, и выпишите условие стационарности течения. Глядишь, $l$ как-нибудь сократится.

Замечу в скобках, что наличие внутренней стенки на уравнения никак не влияет, а только задает граничное условие. Так что можно смело эту стенку мысленно выбросить и рассмотреть течение Пуазейля.

[Dellghin]

DimaM в сообщении #1174797 писал(а):

Далее: задан градиент давления - как найти перепад? Наверняка он тоже зависит от $l$.

Получается перепад давления $gl$?

[DimaM]

Dellghin в сообщении #1174840 писал(а):

Получается перепад давления $gl$?

Верно!

[Dellghin]

Спасибо.
А ещё вопрос, можно эту задачу решить через уравнения Навье-Стокса, не расписывая силы?

[DimaM]

Dellghin в сообщении #1175110 писал(а):

А ещё вопрос, можно эту задачу решить через уравнения Навье-Стокса, не расписывая силы?

Можно. Насколько я понял, вам нужно только уравнение выписать.
В данном случае оно сильно упрощается, поскольку течение стационарное и $\nabla{\bf v}\perp{\bf v}$.

[Dellghin]

Получается, если ввести цилиндрические координаты $(r, \varphi, z)$, то в скорости будет только компонента $v_z$, т.к. $\triangledown p = (0,0,-g) $ (если оси цилидров вдоль $Oz$)?