Неравенство с характеристической функцией (тервер)

[Dellghin]

Здравствуйте. Нужно доказать следующее неравенство:

$$|\varphi (t+h)- \varphi (t)| \leq \sqrt{2(1-\operatorname{Re} \varphi (h))},$$

где $\varphi (t)$ - характеристическая функция. Подскажите, пожалуйста, с чего начать, что использовать.

[ewert]

Dellghin в сообщении #1174267 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, с чего начать, что использовать.

Во-первых, определение характеристической функции как некоего матожидания. А во-вторых, неравенство Коши-Буняковского. Выпишите модуль разности по определению фи, вынесите кой-чего за скобки и углядите в полученном некоторое скалярное произведение.

[Dellghin]

Получилось выражение $|\operatorname{E}(e^{itX}\cdot e^{ihX}) - \operatorname{E}e^{itX}|$, дальше привел к сумме модулей, воспользовался неравенством К-Б, но это ничего особо не дало. Или нужно как-то раскрыть $\operatorname{E}(e^{itX}\cdot e^{ihX})$ не используя модуль?

[ewert]

Dellghin в сообщении #1174278 писал(а):

дальше привел к сумме модулей,

Не к сумме -- к матожиданию произведения. Матожидание произведения двух функций можно интерпретировать как их скалярное произведение (с точностью до комплексного сопряжения).

[Dellghin]

Извините, в моем курсе тервера не было интерпретации мат. ожидания как скалярного произведения. Может быть в других терминах, не могу сообразить. Можете, пожалуйста, объяснить подробнее.

[ewert]

Выражение $E(f(X)\overline{g(X)})$ удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения (кроме невырожденности). Этот факт у Вас был, пусть и разбросанный по разным закуткам. Следовательно, и неравенство Коши-Буняковского (для которого невырожденность не обязательна) тоже выполняется.

[Dellghin]

Скалярного произведения функций точно не было. Было неравенство Коши-Буняковского в виде $\operatorname{E}|XY|\leq \sqrt{\operatorname{E}X^2\operatorname{E}Y^2}$, но там нужен модуль, а тут комплексные экспоненты.

[ewert]

Dellghin в сообщении #1174293 писал(а):

Было неравенство Коши-Буняковского в виде $\operatorname{E}|XY|\leq \sqrt{\operatorname{E}X^2\operatorname{E}Y^2}$, но там нужен модуль.

Не нужен там модуль. Точнее, нужен, но не там -- не слева, а справа. Слева же нужно комплексное сопряжение.

А почему у Вас так -- видимо, по некоторому недоразумению: потому, что случайные величины изначально определялись как величины вещественные. Недоразумение это потому, что при определении характеристической функции всё равно ведь появляется комплексная случайная величина.

[--mS--]

Dellghin в сообщении #1174267 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, с чего начать, что использовать.

Сначала $|\mathsf E(\cdot)| \leq \mathsf E|\cdot|$ и тем самым избавьтесь от $e^{itX}$, потом $\mathsf E|Y|\leqslant \sqrt{\mathsf E(|Y|^2)}$. Да и всё.

[sergei1961]

Это известное неравенство М.Г.Крейна для положительно определённых функций. Характеристическая функция-частный случай п.о.ф. Из него следует знаменитая теорема П. Артёменко: если действительная часть п.о.ф. непрерывна (только) в нуле, то функция равномерно непрерывна на всей действительной оси. Доказываются все такие неравенства или по т.Бохнера (то есть для хар. ф. через преобразование Фурье=определение), вот ссылка с поэмой про это неравенство во славу т. Бохнера:
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml ... n_lang=rus
Здесь есть элементарное доказательство и разные простые обобщения:
https://arxiv.org/abs/1609.01218
а здесь более умное обобщение от Е.А.Горина:
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml ... n_lang=rus

Давно ищу оригинальные работы Артёменко и его диссертацию, он погиб на войне, но никто из одесситов не может мне помочь.